Немецкий математик и астроном-теоретикАвгуст Фердинанд Мёбиус (1790-1868) - ученик великого Гаусса, известный геометр, профессор Лейпцигского университета, директор обсерватории. Долгие годы преподавания, долгие годы работы – обычная жизнь профессора.

Существуют две легенды открытия односторонней поверхности.

Как же называют ленту Мебиуса (иначе лист Мебиуса или петлю Мебиуса) математики?

На языке математики – это топологический объект, простейшая односторонняя поверхностьс краем в обычном трёхмерном Евклидовом пространстве, где можно попасть из одной точки этой поверхности в любую другую, не пересекая края.

Достаточно сложное определение!

Поэтому удобнее просто рассмотреть ленту Мебиуса поближе. Берем бумажную полоску, перекручиваем полоску в пол-оборота поперек (на 180 градусов) и склеиваем концы.

В другой раз "мама бы по головке за такую работу не погладила"! Но, на этот раз вы правы! Она должна быть перекрученным кольцом.

Ставим в каком-нибудь месте на полоске точку фломастером. А теперь прочерчиваем вдоль всей нашей ленты линию, пока вам не встретится вновь ваша точка. Вам нигде не пришлось переходить через край – это и называется односторонней поверхностью.

Посмотрите, как интересно проходит прочерченная вами линия: она то внутри кольца, то снаружи! А теперь измерьте длину этой линии - от точки до точки.
Удивляетесь?
Она оказывается в два раза длиннее первоначальной полоски бумаги!

Так и должно быть, ведь у вас в руках лента Мебиуса! А у ленты Мебиуса есть только одна сторона, и мы опять скажем – это односторонняя поверхность с краем.

1. Разрежьте ленту Мебиуса вкруговую по центральной линии. Не бойтесь, она не развалится на две части! Лента развернется в длинную замкнутую ленту, закрученную вдвое больше, чем первоначальная. Почему лента Мебиуса при таком разрезе не распадается на отдельные части?
Разрез не касался края ленты, поэтому после разреза край (а значит и вся полоска бумаги) останется целым куском.

2. Полученную после первого опыта ленту Мебиуса (закрученную вдвое больше, чем первоначальная, т.е. на 360 градусов) вновь разрежьте по ее центральной линии.

3. Сделайте новую ленту Мебиуса, но перед склейкой поверните ее не один раз, а три раза (не на 180 градусов, а на 540). Затем разрежьте ее вдоль центральной линии.

Представим себе поверхность и сидящего на ней муравья. Удастся ли муравью доползти до обратной стороны поверхности – образно говоря, до её изнанки, - не перелезая через край? Конечно же нет!

Август Фердинанд Мёбиус (1790-1868)

Первый пример односторонней поверхности, в любое место которой может доползти муравей, не перелезая через край, привел Мёбиус в 1858г.

Лента Мебиуса, которую также называют петлей, поверхностью или листом, – это объект изучения такой математической дисциплины, как топология, исследующей общие свойства фигур, сохраняющихся при таких непрерывных преобразованиях, как скручивание, растяжение, сжатие, изгибание и других, не связанных с нарушением целостности. Удивительной и неповторимой особенностью такой ленты является то, что он имеет всего одну сторону и край и никак не связаны с ее расположением в пространстве. Лист Мебиуса является топологическим, то есть непрерывным объектом с простейшей односторонней поверхностью с границей в обычном Евклидовом пространстве (3-мерном), где возможно из одной точки такой поверхности, не пересекая края, попасть в любую другую.
Август Фердинанд Мёбиус (1790-1868) – ученик «короля» математиков Гаусса. Мёбиус был первоначально астрономом, как Гаусс и многие другие, кому математика обязана своим развитием. В те времена занятия математикой не встречали поддержки, а астрономия давала достаточно денег, чтобы не думать о них, и оставляла время для собственных размышлений. И Мёбиус стал одним из крупнейших геометров XIX века.

В возрасте 68 лет Мёбиусу удалось сделать открытие поразительной красоты. Это открытие односторонних поверхностей, одна из которых – лист Мёбиуса (или лента). Мёбиус придумал ленту, когда наблюдал за горничной, неправильно одевшей на шею свой платок.
В Евклидовом пространстве, фактически, существует два типа ленты Мебиуса, развернутой вполоборота: одна - развернутая по часовой стрелке, другая - против часовой стрелки.

Ленте Мебиуса присущи следующие свойства, не меняющиеся при ее сжимании, разрезании вдоль или сминании:

1. Наличие одной стороны. А. Мебиус в своем труде «Об объеме многогранников» описал геометрическую поверхность, названную затем в его честь, обладающую всего одной стороной. Проверить это довольно просто: берем ленту или лист Мебиуса и стараемся закрасить внутреннюю сторону одним цветом, а внешнюю – другим. Не суть важно, в каком месте и направлении было начато окрашивание, вся фигура будет закрашена одним цветом.
2. Непрерывность выражается в том, что любую точку этой геометрической фигуры можно соединить с любой другой ее точкой, не пересекая границы поверхности Мебиуса.
3. Связность, или двухмерность, заключается в том, что при разрезании ленты вдоль, из нее не получится несколько разных фигур, и она остается цельной.

4. В ней отсутствует такое важное свойство, как ориентированность. Это значит, что человек, идущий по этой фигуре, вернется к началу своего пути, но только в зеркальном отражении самого себя. Таким образом, бесконечная лента Мебиуса может привести к вечному путешествию.
5. Особый хроматический номер, показывающий, какое максимально возможное число областей на поверхности Мебиуса, можно создать так, чтобы у любой из них была общая граница со всеми другими. Лента Мебиуса имеет хроматический номер – 6, а вот кольцо из бумаги – 5.

Сегодня лист Мебиуса и его свойства широко применяются в науке, служа основой для построения новых гипотез и теорий, проведения исследований и экспериментов, создания новых механизмов и устройств. Так, существует гипотеза, согласно которой Вселенная - это огромнейшая петля Мебиуса. Косвенно об этом свидетельствует и теория относительности Эйнштейна, согласно которой даже полетевший прямо корабль может вернуться в ту же временную и пространственную точку, откуда стартовал.

Другая теория рассматривает ДНК как часть поверхности Мебиуса, что объясняет сложности с прочтением и расшифровкой генетического кода. Кроме всего прочего, такая структура дает логичное объяснение биологической смерти – замкнутая на самой себе спираль приводит к самоуничтожению объекта. По мнению физиков, многие оптические законы основываются на свойствах листа Мебиуса. Так, например, зеркальное отражение - это особый перенос во времени и человек видит перед собой своего зеркального двойника.

Если вас заинтересовала лента Мебиуса, как сделать ее модель, вам подскажет небольшая инструкция:
1. Для изготовления ее модели потребуются: - лист обычной бумаги;
- ножницы;
- линейка.
2. Отрезаем полосу от листа бумаги так, чтобы ее ширина была в 5-6 раз меньше длины.
3. Полученную бумажную полоску раскладываем на ровной поверхности. Один конец придерживаем рукой, а другой поворачиваем на 180* так, чтобы полоса перекрутилась и изнанка стала лицевой стороной.
4. Склеиваем концы перекрученной полосы так, как показано на рисунке.

Лента Мебиуса готова.
5. Возьмите ручку или маркер и посередине ленты начните рисовать дорожку. Если вы сделали все правильно, то вернетесь в ту же точку, откуда начали чертить линию.

Для того чтобы получить наглядное подтверждение тому, что лента Мебиуса - односторонний объект, карандашом или ручкой попробуйте закрасить какую-либо ее сторону. Через некоторое время вы увидите, что закрасили ее полностью.

Архитетурные решения с использованием идеи ленты Мебиуса:

Ювелирные украшения в виде ленты Мёбиуса:

Существуют технические применения ленты Мёбиуса. Полоса ленточного конвейера выполняется в виде ленты Мёбиуса, что позволяет ему работать дольше, потому что вся поверхность ленты изнашивается равномерно. Также в системах записи на непрерывную плёнку применяются ленты Мёбиуса (чтобы удвоить время записи). Во многих матричных принтерах красящая лента также имеет вид листа Мёбиуса для увеличения её ресурса.

Устройство под названием резистор Мёбиуса - это недавно изобретённый электронный элемент, который не имеет собственной индуктивности.
Еще применяются ленты Мёбиуса в системах записи на непрерывную плёнку (чтобы удвоить время записи), в матричных принтерах красящая лента также имела вид листа Мёбиуса для увеличения срока годности.

Лист Мёбиуса служил вдохновением для скульптур и для графического искусства. Эшер был одним из художников, кто особенно любил его и посвятил несколько своих литографий этому математическому объекту. Одна из известных - «Лист Мёбиуса II», показывает муравьёв, ползающих по поверхности ленты Мёбиуса.

Лист Мёбиуса является эмблемой серии научно-популярных книг серии «Библиотечка „Квант“». Он также постоянно встречается в научной фантастике, например, в рассказе Артура Кларка «Стена темноты». Иногда научно-фантастические рассказы (вслед за физиками-теоретиками) предполагают, что наша Вселенная может быть некоторым обобщённым листом Мёбиуса. Также кольцо Мёбиуса постоянно упоминается в произведениях уральского писателя Владислава Крапивина, цикл «В глубине Великого Кристалла» (например, «Застава на Якорном Поле. Повесть»). В рассказе «Лист Мёбиуса» автора А. Дж. Дейча, бостонское метро строит новую линию, маршрут которой становится настолько запутанным, что превращается в ленту Мёбиуса, после чего на этой линии начинают исчезать поезда. По мотивам рассказа был снят фантастический фильм «Мёбиус» режиссёра Густаво Москера. Также идея ленты Мёбиуса используется в рассказе М. Клифтона «На ленте Мёбиуса».

Лента Мёбиуса используется как способ перемещения в пространстве и времени Гарри Кифа, главного героя романа Брайана Ламли «Некроскоп».

Лента Мёбиуса играет важную роль в фантастическом романе Р. Желязны «Двери в песке».

В книге Е. Наумова «Полураспад» (1989 год) интеллигент-алкоголик путешествует по стране, становясь на ленту Мёбиуса.

Москва, «Лента Мёбиуса»

С лентой Мёбиуса сравнивается течение романа современного русского писателя Алексея Шепелёва «Echo». Из аннотации к книге: «„Echo“ - литературная аналогия кольца Мёбиуса: две сюжетные линии - „мальчиков“ и „девочек“ - переплетаются, перетекают друг в друга, но не пересекаются».

Лента Мёбиуса также встречается в эссе Харуки Мураками «Облади Облада» из книги-сборника «Радио Мураками», выпущенного в 2010 году, где лента Мёбиуса образно сравнивается с бесконечностью.

В визуальной новелле CHARON "Makoto Mobius" главный герой Ватаро пытается спасти одноклассницу от смерти, используя магический артефакт - ленту Мёбиуса.

В 1987 году советский джазовый пианист Леонид Чижик записал альбом «Лента Мёбиуса», в который вошла и одноимённая композиция.

Гоночный трек в одном из эпизодов (7 сезон 14 серия, 11 минута) мультсериала «Футурама» представляет собой ленту Мёбиуса.

Существуют технические применения ленты Мёбиуса. Полоса ленточного конвейера, выполненная в виде ленты Мёбиуса, будет работать дольше, потому что вся поверхность ленты изнашивается равномерно. Также в системах записи на непрерывную плёнку применяются ленты Мёбиуса (чтобы удвоить время записи). Во многих матричных принтерах красящая лента также имеет вид ленты Мёбиуса для увеличения её ресурса.

Также над входом в институт ЦЭМИ РАН находится мозаичный горельеф «Лента Мёбиуса» работы архитектора Леонида Павлова в соавторстве с художниками Э. А. Жареновой и В. К. Васильцовым (1976)

Лента Мебиуса, которую также называют петлей, поверхностью или листом, – это объект изучения такой математической дисциплины, как топология, исследующей общие свойства фигур, сохраняющихся при таких непрерывных преобразованиях, как скручивание, растяжение, сжатие, изгибание и других, не связанных с нарушением целостности. Удивительной и неповторимой особенностью такой ленты является то, что он имеет всего одну сторону и край и никак не связаны с ее расположением в пространстве.

Лист Мебиуса является топологическим, то есть непрерывным объектом с простейшей односторонней поверхностью с границей в обычном Евклидовом пространстве (3-мерном), где возможно из одной точки такой поверхности, не пересекая края, попасть в любую другую.

Кто и когда ее открыл?

Такой непростой объект, как лента Мебиуса, был и открыт довольно необычно. Прежде всего отметим, что два математика, абсолютно не связанные между собой в исследованиях, открыли ее одновременно – в 1858 году. Еще одним интересным фактом является то, что оба этих ученых в разное время являлись учениками одного и того же великого математика - Иоганна Карла Фридриха Гаусса. Так, вплоть до 1858 года считалось, что любая поверхность обязана иметь две стороны. Однако Иоганн Бенедикт Листинг и Август Фердинанд Мебиус открыли геометрический объект, у которого была всего одна сторона, и описывают его свойства. Лента была названа в честь Мебиуса, а вот отцом-основателем «резиновой геометрии» топологи считают Листинга и его труд «Предварительные исследования по топологии».

Свойства

Ленте Мебиуса присущи следующие свойства, не меняющиеся при ее сжимании, разрезании вдоль или сминании:

1. Наличие одной стороны. А. Мебиус в своем труде «Об объеме многогранников» описал геометрическую поверхность, названную затем в его честь, обладающую всего одной стороной. Проверить это довольно просто: берем ленту или лист Мебиуса и стараемся закрасить внутреннюю сторону одним цветом, а внешнюю – другим. Не суть важно, в каком месте и направлении было начато окрашивание, вся фигура будет закрашена одним цветом.

2. Непрерывность выражается в том, что любую точку этой геометрической фигуры можно соединить с любой другой ее точкой, не пересекая границы поверхности Мебиуса.

3. Связность, или двухмерность, заключается в том, что при разрезании ленты вдоль, из нее не получится несколько разных фигур, и она остается цельной.

4. В ней отсутствует такое важное свойство, как ориентированность. Это значит, что человек, идущий по этой фигуре, вернется к началу своего пути, но только в зеркальном отражении самого себя. Таким образом, бесконечная лента Мебиуса может привести к вечному путешествию.

5. Особый хроматический номер, показывающий, какое максимально возможное число областей на поверхности Мебиуса, можно создать так, чтобы у любой из них была общая граница со всеми другими. Лента Мебиуса имеет хроматический номер – 6, а вот кольцо из бумаги – 5.

Научное использование

Сегодня лист Мебиуса и его свойства широко применяются в науке, служа основой для построения новых гипотез и теорий, проведения исследований и экспериментов, создания новых механизмов и устройств.

Так, существует гипотеза, согласно которой Вселенная - это огромнейшая петля Мебиуса. Косвенно об этом свидетельствует и теория относительности Эйнштейна, согласно которой даже полетевший прямо корабль может вернуться в ту же временную и пространственную точку, откуда стартовал.

Другая теория рассматривает ДНК как часть поверхности Мебиуса, что объясняет сложности с прочтением и расшифровкой генетического кода. Кроме всего прочего, такая структура дает логичное объяснение биологической смерти – замкнутая на самой себе спираль приводит к самоуничтожению объекта.

По мнению физиков, многие оптические законы основываются на свойствах листа Мебиуса. Так, например, зеркальное отражение - это особый перенос во времени и человек видит перед собой своего зеркального двойника.

Реализация на практике

В различных отраслях промышленности лента Мебиуса применение нашла уже давно. Великий изобретатель Никола Тесла в начале века изобрел резистор Мебиуса, состоящий из двух скрученных на 1800 проводящих поверхностей, который может противостоять потоку электрического тока без создания электромагнитных помех.

На основе исследований поверхности ленты Мебиуса и ее свойств было создано множество устройств и приборов. Ее форму повторяют при создании полосы ленточного конвейера и красящей ленты в печатных устройствах, абразивных ремней для заточки инструментов и автоматической передачи. Это позволяет значительно увеличить срок их службы, так как изнашивание происходит более равномерно.

Не так давно удивительные особенности листа Мебиуса позволили создать пружину, которая, в отличие от обычных, срабатывающих в противоположном направлении, не меняет направление срабатывания. Применяется она в стабилизаторе рулевого привода штурвала, обеспечивая возврат рулевого колеса в исходное положение.

Кроме того, знак лента Мебиуса используется в разнообразных торговых марках и логотипах. Самый известный из них - это международный символ вторичной переработки. Его проставляют на упаковках товаров либо пригодных для последующей переработки, либо сделанных из переработанных ресурсов.

Источник творческого вдохновения

Лента Мебиуса и ее свойства легли в основу творчества многих художников, писателей, скульпторов и кинематографистов. Самый известный художник, использовавший в таких своих работах, как «Лента Мебиуса II (Красные муравьи)», «Всадники» и «Узлы», ленту и ее особенности - Мауриц Корнелис Эшер.

Листы Мебиуса, или, как их еще называют, поверхности минимальной энергии, стали источником вдохновения для математических художников и скульпторов, например, Брента Коллинза или Макса Билла. Самый известный памятник ленте Мебиуса установлен у входа в вашингтонский Музей истории и техники.

Русские художники также не остались в стороне от этой темы и создали свои работы. Скульптуры «Лента Мебиуса» установлены в Москве и Екатеринбурге.

Литература и топология

Необычные свойства поверхностей Мебиуса вдохновили многих писателей на создание фантастических и сюрреалистических произведений. Петля Мебиуса играет важную роль в романе Р. Желязны «Двери в песке» и служит как средство перемещения сквозь пространство и время для главного героя романа «Некроскоп» Б. Ламли.

Фигурирует она и в рассказах «Стена темноты» Артура Кларка, «На ленте Мебиуса» М. Клифтона и «Лист Мебиус» А. Дж. Дейча. По мотивам последнего режиссером Густаво Москера был снята фантастическая кинокартина «Мебиус».

Делаем сами, своими руками!

Если вас заинтересовала лента Мебиуса, как сделать ее модель, вам подскажет небольшая инструкция:

1. Для изготовления ее модели потребуются:

Лист обычной бумаги;

Ножницы;

Линейка.

2. Отрезаем полосу от листа бумаги так, чтобы ее ширина была в 5-6 раз меньше длины.

3. Полученную бумажную полоску раскладываем на ровной поверхности. Один конец придерживаем рукой, а другой поворачиваем на 1800 так, чтобы полоса перекрутилась и изнанка стала лицевой стороной.

4. Склеиваем концы перекрученной полосы так, как показано на рисунке.

Лента Мебиуса готова.

5. Возьмите ручку или маркер и посередине ленты начните рисовать дорожку. Если вы сделали все правильно, то вернетесь в ту же точку, откуда начали чертить линию.

Для того чтобы получить наглядное подтверждение тому, что лента Мебиуса - односторонний объект, карандашом или ручкой попробуйте закрасить какую-либо ее сторону. Через некоторое время вы увидите, что закрасили ее полностью.опубликовано econet.ru

Методы исследования: анализ литературы по данной теме; сравнение; обобщение; моделирование (метод моделирования позволил мне получить информацию о различных свойствах изучаемого объекта на основе опытов с его материальными моделями).

Таинственный и знаменитый лист Мебиуса (иногда говорят: "лента Мёбиуса") придумал Август Фердинанд Мёбиус (1790-1868), ученик "короля математиков" Гаусса, немецкий геометр Лейпцигского университета. Первоначально Мёбиус был астрономом. Он ввел аналитические методы исследования, установил понятие проективного преобразования и существование односторонних поверхностей. В возрасте 68 лет ему удалось сделать открытие поразительной красоты. Это открытие односторонних поверхностей, одна из которых - лист Мёбиуса.

Как -то раз в доме на пороге комнаты появилась любимая жена. Правда, она была не в хорошем расположении духа. Правильнее сказать, она была разгневана, что для мирного дома Мебиусов было почти так же невероятно, как три раза в год увидеть парад планет, и категорически требовала немедленно уволить служанку, которая настолько бездарна, что даже не способна правильно сшить ленту.

Лист Мёбиуса - это топологический объект, простейшая односторонняя поверхность с краем. Сама топология началась именно с листа Мёбиуса.

Топология (от греч. το?πος — место) — часть геометрии, изучающая в самом общем виде явление непрерывности, а также свойства обобщенных геометрических объектов. Топология является одним из самых «молодых» разделов современной геометрии, в котором изучаются свойства таких фигур, которые не меняются, если их гнуть, растягивать, сжимать, но не склеивать и не рвать, т. е не изменяются при деформациях. Примером топологических объектов являются: буквы И и Н, тонкие длинные воздушные шарики.

Изготовление ленты Мёбиуса.

Возьмем бумажную ленту АВСD, разделенную по ширине пополам пунктирной линией. Прикладываем ее концы АВ и СD друг к другу и склеиваем так, чтобы точка А совпала с точкой C, а точка B с точкой D. Получилось знаменитое в математике бумажное кольцо, которое получило особое название - "Лента Мёбиуса".

Опыты с лентой Мёбиуса

1 опыт.

Результат: линия проходит непрерывно по двум сторонам, заканчиваясь в начальной поставленной точке.

2 опыт.

Результат: лист Мёбиуса закрасился полностью, а вот у кольца одна сторона закрашена, а другая - нет.

3 опыт.

Результат: на обычном кольце паук и муха никогда не встретятся, не пересекая края. На листе Мёбиуса паук и муха встретятся не пересекая края в любом случае.

4 опыт:

Результат: получилось два кольца, причем длина окружности каждого будет такой же, как длина окружности первоначально взятого. У листа Мёбиуса получилось одно большое кольцо перекрученное в два раза (в виде восьмерки).

5 опыт:

Результат: получилось 2 кольца одно уже, другое шире. В листе Мёбиуса получилось два сцепленных друг с другом кольца, одно маленькое - другое большое.

Лист Мёбиуса служил вдохновением для скульптур и для графического искусства. Одним из художников, кто особенно любил его и посвятил несколько своих литографий этому математическому объекту, был Морис Корнелис Эшер. Одна из известных - муравьи, ползающие по поверхности Ленты Мёбиуса. (см. Приложение 2)

Просмотр содержимого документа
«КОНКУРС ТВОРЧЕСКИХ РАБОТ ШКОЛЬНИКОВ»

МУНИЦИПАЛЬНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

«НОВОЦУРУХАЙТУЙСКАЯ СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА»

ПРИАРГУНСКОГО РАЙОНА

ЗАБАЙКАЛЬСКОГО КРАЯ

Исследовательская работа на тему:

«Лента Мёбиуса»

Выполнила: ученица 8 «А» класса

МОУ Новоцурухайтуйской СОШ

Симонова Анна Сергеевна

Руководитель: учитель математики

и информатики

Коктышева Юлия Георгиевна

Новоцурухайтуй, 2012 г.

Введение ………………………………………………………………………

История создания листа Мёбиуса…………………………………………

Изучение свойств ленты Мёбиуса…………………………………………

Применение ленты Мёбиуса в нашей жизни…………………………….

Заключение…………………………………………………………………….

Список Литературы………………………………………………………………..

Приложения………………………………………………………………………..

Введение

Актуальность исследования. В наше время актуально изучение различных свойств и нестандартных применений необычных фигур. Лист Мёбиуса востребован, его применение развивается, и свойства не до конца изучены. Его ценность состоит в том, что он дал толчок новым обширным математическим исследованиям. Именно поэтому его часто считают символом современной математики и изображают на различных эмблемах и значках, как, например, на значке механико-математического факультета Московского университета (см. Приложение 1). Актуальность данной тематики предопределило выбор темы научного исследования.

Цель исследования: исследование поверхности ленты Мебиуса.

Гипотеза: если мыисследуем поверхность ленты Мебиуса, то определим её практическое применение

Объект исследования : лента Мебиуса.

Предмет исследования: свойства ленты Мёбиуса.

Задачи:

познакомиться с историей появления ленты Мебиуса;

выявить и исследовать свойства ленты Мебиуса;

установить области применения ленты Мебиуса.

Методы исследования : анализ литературы по данной теме; сравнение; обобщение; моделирование (метод моделирования позволил мне получить информацию о различных свойствах изучаемого объекта на основе опытов с его материальными моделями).

История создания листа Мёбиуса

Таинственный и знаменитый лист Мебиуса (иногда говорят: "лента Мёбиуса") придумал Август Фердинанд Мёбиус (1790–1868), ученик "короля математиков" Гаусса, немецкий геометр Лейпцигского университета. Первоначально Мёбиус был астрономом. Он ввел аналитические методы исследования, установил понятие проективного преобразования и существование односторонних поверхностей. В возрасте 68 лет ему удалось сделать открытие поразительной красоты. Это открытие односторонних поверхностей, одна из которых – лист Мёбиуса.

В 26 лет Мёбиус стал профессором, руководителем астрономической лаборатории в Лейпцигском университете. Научные статьи, лекции, работа. Все как у обычного профессора университета. Рассеянного доброго чудака студенты боготворили.

Как –то раз в доме на пороге комнаты появилась любимая жена. Правда, она была не в хорошем расположении духа. Правильнее сказать, она была разгневана, что для мирного дома Мебиусов было почти так же невероятно, как три раза в год увидеть парад планет, и категорически требовала немедленно уволить служанку, которая настолько бездарна, что даже не способна правильно сшить ленту.

Хмуро разглядывая злосчастную ленту, профессор воскликнул: “Ай да, Марта! Девочка не так уж глупа. Ведь это же односторонняя кольцевая поверхность. У ленточки нет изнанки!” Идея пришла ему в голову, когда служанка неправильно сшила ленту.

Открытая поверхность получила математическое обоснование и имя в честь описавшего ее математика и астронома.

Лента вдохновила на подвиги ни одного добряка-профессора. Взял ее на вооружение и цех парижских портных. Отныне в качестве экзамена для новичка, претендовавшего на зачисление в цех, было пришивание к подолу юбки тесьмы в форме ленты Мебиуса.

Лист Мёбиуса – это топологический объект, простейшая односторонняя поверхность с краем. Сама топология началась именно с листа Мёбиуса.

Слово это придумал Иоганн Бенедикт Листинг, который почти в тоже время, что и его коллега, предложил в качестве первого примера односторонней поверхности уже знакомую нам перекрученную ленту.

Топология (от греч. τόπος - место) - часть геометрии, изучающая в самом общем виде явление непрерывности, а также свойства обобщенных геометрических объектов. Топология является одним из самых «молодых» разделов современной геометрии, в котором изучаются свойства таких фигур, которые не меняются, если их гнуть, растягивать, сжимать, но не склеивать и не рвать, т. е не изменяются при деформациях. Примером топологических объектов являются: буквы И и Н, тонкие длинные воздушные шарики.

Изучение свойств ленты Мёбиуса

Изготовление ленты Мёбиуса. Для изготовления ленты Мёбиуса потребуются бумажные полосы длиной 30 см и шириной 3 см.

Возьмем бумажную ленту АВСD, разделенную по ширине пополам пунктирной линией. Прикладываем ее концы АВ и СD друг к другу и склеиваем так, чтобы точка А совпала с точкой C, а точка B с точкой D . Получилось знаменитое в математике бумажное кольцо, которое получило особое название - "Лента Мёбиуса".

Опыты с лентой Мёбиуса

1 опыт. Поставьте точку на одной стороне ленты и начертите линию вдоль неё.

Результат: линия проходит непрерывно по двум сторонам, заканчиваясь в начальной поставленной точке.

2 опыт. Попробуйте закрасить ленту Мёбиуса, а затем обычное кольцо.

Результат: лист Мёбиуса закрасился полностью, а вот у кольца одна сторона закрашена, а другая – нет.

3 опыт. Изготовим из бумаги паука и муху, и отправим их «гулять» сначала по обычному листу, а затем по листу Мёбиуса при этом не пересекая края кольца и ленты.

Результат: на обычном кольце паук и муха никогда не встретятся, не пересекая края. На листе Мёбиуса паук и муха встретятся не пересекая края в любом случае.

4 опыт: разрежем кольца пополам вдоль. (Чтобы проверить, какая поверхность получилась необходимо снова прочертить непрерывную линию.)

Результат: получилось два кольца, причем длина окружности каждого будет такой же, как длина окружности первоначально взятого. У листа Мёбиуса получилось одно большое кольцо перекрученное в два раза (в виде восьмерки).

5 опыт: разрежем кольцо вдоль, отступив от края 1/3. (Чтобы проверить, какая поверхность получилась необходимо снова прочертить непрерывную линию.). Точно также разрежем и лист Мёбиуса.

Результат: получилось 2 кольца одно уже, другое шире. В листе Мёбиуса получилось два сцепленных друг с другом кольца, одно маленькое – другое большое.

На основе проведенных опытов можно сделать вывод:

Лента Мёбиуса имеет только один край.

Имеет только одну поверхность.

Объекты по поверхности ленты будут двигаться бесконечно

Лист Мёбиуса - топологический объект. Как и любая топологическая фигура, лента Мёбиуса не меняет своих свойств, пока ее не разрезают, не разрывают.

Применение ленты Мёбиуса в нашей жизни

Лента Мёбиуса получила своё применение во многих областях нашей жизни.

Лист Мёбиуса служил вдохновением для скульптур и для графического искусства. Одним из художников, кто особенно любил его и посвятил несколько своих литографий этому математическому объекту, был Морис Корнелис Эшер. Одна из известных – муравьи, ползающие по поверхности Ленты Мёбиуса. (см. Приложение 2)

Кроме того, Лист Мёбиуса встречается и в картинах других художников. (см. Приложение 3)

Встречается он и в архитектуре. (см. Приложение 4) Так, например проектирование национальной библиотеки в Астане по названием «Юрта Мёбиуса».

Их дизайн основан на сочетании четырех форм: кольца, ротонды, арки и юрты, при этом объединенных по принципу ленты Мёбиуса.

Так же есть парковая скамья, повторяющая очертания ленты Мебиуса, ротонда для любования пейзажем посреди поля и дом-гнездо на воде вошли в шорт-лист общероссийской премии в области деревянной архитектуры АРХИWOOD.

Поразил нас и Поп-арт, разработанный для вьетнамского города Хошимин. Со стороны, кажется, что этот многофункциональный комплекс похож на американские горки. Хотя основой для внешнего вида Everrich стали вовсе не американские горки, а лента Мебиуса.

Общая площадь этого многофункционального комплекса составит почти 632 тысячи квадратных метров, 37 этажей. На них расположатся 3 100 жилых квартир, офисные и гостиничные помещения, торговые залы и развлекательный центр.

Использование двойной Ленты Мебиуса можно увидеть в организации структуры выставочного автомобильного комплекса «Мерседес - Бенц».

Лентой Мёбиуса восхищались и поэты. Мы нашли несколько стихотворений, посвященные этому замечательному объекту.

Наталья Юрьевна Иванова

Лист Мёбиуса

Лист Мебиуса - символ математики,
Что служит высшей мудрости венцом…
Он полон неосознанной романтики:
В нем бесконечность свернута кольцом.

В нем – простота, и вместе с нею – сложность,
Что недоступна даже мудрецам:
Здесь на глазах преобразилась плоскость
В поверхность без начала и конца.

Здесь нет пределов, нет ограничений,
Стремись вперед и открывай миры,
Почувствуй силу новых ощущений,
Прими познанья высшего дары:……

……………………………………..
Лист Мёбиуса. (Дмитрий Худолей)

Двенадцать фраз, всего шесть строф,
С десяток рифм, полсотни слов.
Здесь нет начала, нет конца,
И нет изнанки, нет лица…………

Романтическое описание листа Мебиуса встречается в повести Э.Успенского «Красная рука, черная простыня, зеленые пальцы»
«…Но больше всего поразил Рахманина какой-то странный то ли знак, то ли вензель, то ли орден очень и очень аккуратной работы. Никогда раньше он не видел ничего похожего. Это изделие напоминало или старинный герб иностранного дворянского рода, или герб страховой компании, торгующей научными приборами, потому что основу его составлял лист Мебиуса.
Эта вещь очень понравилась Рахманину… В знаке совершенно четко проступал какой-то смысл, были заложены определенные пропорции и связи.»

Удивительно и применение ленты Мёбиуса в науки и технике. В 1923г изобретатель. Ли де Форес предложил записывать звук на киноленту без смены катушек. Придуманы кассеты для магнитофона, где лента перекручивается и соединяется в кольцо, при этом появляется возможность записывать и считывать информацию с двух сторон, что увеличивает емкость кассеты. Так же полоса ленточного конвейера выполнялась в виде ленты Мёбиуса, что позволяло ему работать дольше, потому что вся поверхность ленты равномерно изнашивалась.В матричных принтерах красящая лента также имела вид лист Мёбиуса это для увеличения срока годности. (см. Приложение 5)

Вдохновляет лист Мёбиуса и дизайнеров. Примером является кресла Мёбиуса: этот диван повторяет секрет одноименной ленты, который в данном дизайнерском решении используется в качестве создания специальной атмосферы романтичности. (см. Приложение6)
Лист Мёбиуса используют в оформлении ювелирных изделий и бижутерии. (см. Приложение 7)

Заключение

Таким образом, лента Мёбиуса – первая односторонняя поверхность, которая положила начало новому направлению в геометрии – топологии.

В ходе своего исследования я изучила большое количество литературы. В различных источниках сети Интернет мне встречались работы других учащихся, я проводила сравнение и анализировала прочитанное.

Так же, в своем исследовании я познакомилась с историей создания ленты Мебиуса. Мною было проведено ряд опытов с лентой Мёбиуса, результаты которой меня очень заинтересовали. В связи с этим мне захотелось посмотреть где же используют ленту Мёбиуса. Оказалось, что лента Мёбиуса применяется практически во всех областях нашей жизни.

Работа над темой мне очень понравилось. Для себя я получила много полезной и интересной информации о листе Мёбиуса.

Список литературы

Большая советская энциклопедия. Том 15. Москва.: третье издание, 1974 г.

Смирнова И. М. , Смирнов В. А. Учебник геометрии 7-9 классы. Москва.: Мнемозина, 2009 г.

Журнал «Квант», 1978, №6

Интернет сайты:

http://www.coolreferat.com

http://www.websib.ru

http://www.genon.ru/

http://nsportal.ru

http://zalivino.net/

http://barabinsk.ucoz.ru

http://mou-kislov.narod.ru/

regconf.vstu.edu.ru›

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

ПРИЛОЖЕНИЕ 2

ПРИЛОЖЕНИЕ 3

Рекомендуем почитать

Праздники

С днем рождения мальчику, картинки

Народные рецепты

Игрушка амигуруми «Совушка в кедах»

Стиль

Мужской образ со шляпой. Виды мужских шляп. Цветовая гамма одежды

Лайфхаки

Бесшовный детский жилет спицами

Держим форму

Текст песни(слова) Грибы - Тает лёд

Здоровая спина

Русский народный праздник: календарь, сценарии, традиции и обряды Русские гуляния и праздники