Закон сохранения механической энергии для маятников. Свободные колебания
В технике и окружающем нас мире часто приходится сталкиваться с периодическими (или почти периодическими ) процессами, которые повторяются через одинаковые промежутки времени. Такие процессы называют колебательными .
Колебания – один из самых распространенных процессов в природе и технике. Крылья насекомых и птиц в полете, высотные здания и высоковольтные провода под действием ветра, маятник заведенных часов и автомобиль на рессорах во время движения, уровень реки в течение года и температура человеческого тела при болезни, звук - это колебания плотности и давления воздуха, радиоволны - периодические изменения напряженностей электрического и магнитного полей, видимый свет - тоже электромагнитные колебания, только с несколько иными длиной волны и частотой, землетрясения - колебания почвы, биение пульса - периодические сокращения сердечной мышцы человека и т.д.
Колебания бывают механические, электромагнитные, химические, термодинамические и различные другие. Несмотря на такое разнообразие, все они имеют между собой много общего.
Колебательные явления различной физической природы подчиняются общим закономерностям. Например, колебания тока в электрической цепи и колебания математического маятника могут описываться одинаковыми уравнениями. Общность колебательных закономерностей позволяет рассматривать колебательные процессы различной природы с единой точки зрения. Признаком колебательного движения является его периодичность .
Механические колебания – это движения, которые точно или приблизительно повторяются через одинаковые промежутки времени .
Примерами простых колебательных систем могут служить груз на пружине (пружинный маятник) или шарик на нити (математический маятник).
При механических колебаниях кинетическая и потенциальная энергии периодически изменяются.
При максимальном отклонении тела от положения равновесия его скорость, а следовательно, и кинетическая энергия обращаются в нуль . В этом положении потенциальная энергия колеблющегося тела достигает максимального значения . Для груза на пружине потенциальная энергия – это энергия упругих деформаций пружины. Для математического маятника – это энергия в поле тяготения Земли.
Когда тело при своем движении проходит через положение равновесия , его скорость максимальна. Тело проскакивает положение равновесия по закону инерции. В этот момент оно обладает максимальной кинетической и минимальной потенциальной энергией . Увеличение кинетической энергии происходит за счет уменьшения потенциальной энергии.
При дальнейшем движении начинает увеличиваться потенциальная энергия за счет убыли кинетической энергии и т. д.
Таким образом, при гармонических колебаниях происходит периодическое превращение кинетической энергии в потенциальную и наоборот .
Если в колебательной системе отсутствует трение, то полная механическая энергия при механических колебаниях остается неизменной.
Для груза на пружине :
В положении максимального отклонения полная энергия мятника равна потенциальной энергии деформированной пружины:
При прохождении положения равновесия полная энергия равна кинетической энергии груза:
Для малых колебаний математического маятника :
В положении максимального отклонения полная энергия мятника равна потенциальной энергии поднятого на высоту h тела:
При прохождении положения равновесия полная энергия равна кинетической энергии тела:
Здесь h m – максимальная высота подъема маятника в поле тяготения Земли, x m и υ m = ω 0 x m – максимальные значения отклонения маятника от положения равновесия и его скорости.
Гармонические колебания и их характеристики. Уравнение гармонического колебания.
Простейшим видом колебательного процесса являются простые гармонические колебания , которые описываются уравнением
x = x m cos (ωt + φ 0).
Здесь x
– смещение тела от положения равновесия,
x m
– амплитуда колебаний, то есть максимальное смещение от положения равновесия,
ω – циклическая или круговая частота
колебаний,
t
– время.
Характеристики колебательного движения.
Смещение х – отклонение колеблющейся точки от положения равновесия. Единица измерения – 1 метр.
Амплитуда колебаний А – максимальноеотклонение колеблющейся точки от положения равновесия. Единица измерения – 1 метр.
Период колебаний T – минимальный интервал времени, за который происходит одно полное колебание, называется. Единица измерения – 1 секунда.
T=t/N
где t - время колебаний, N - количество колебаний, совершенных за это время.
По графику гармоническихколебаний можно определить период и амплитуду колебаний:
Частота колебаний ν – физическая величина, равная числу колебаний за единицу времени.
ν=N/t
Частота – величина, обратная периоду колебаний:
Частота колебаний ν показывает, сколько колебаний совершается за 1 с.Единица частоты – герц (Гц).
Циклическая частота ω – число колебаний за 2π секунды.
Частота колебаний ν связана с циклической частотой ω и периодом колебаний T соотношениями:
Фаза гармонического процесса – величина, стоящая под знаком синуса или косинуса в уравнении гармонических колебаний φ = ωt + φ 0 . При t = 0 φ = φ 0 , поэтому φ 0 называют начальной фазой .
График гармонических колебаний представляет собой синусоиду или косинусоиду.
Во всех трех случаях для синих кривых φ 0 = 0:
только большей амплитудой (x" m > x m);
красная кривая отличается от синей только значением периода (T" = T / 2);
красная кривая отличается от синей только значением начальной фазы (рад).
При колебательном движении тела вдоль прямой линии (ось OX ) вектор скорости направлен всегда вдоль этой прямой. Скорость движения тела определяется выражением
В математике процедура нахождения предела отношения Δх/Δt при Δt → 0 называется вычислением производной функции x (t ) по времени t и обозначается как x" (t ).Скорость равна производной функции х(t ) по времени t.
Для гармонического закона движения x = x m cos (ωt + φ 0) вычисление производной приводит к следующему результату:
υ х =x" (t )= ωx m sin (ωt + φ 0)
Аналогичным образом определяется ускорение a x тела при гармонических колебаниях. Ускорение a равно производной функции υ(t ) по времени t , или второй производной функции x (t ). Вычисления дают:
а х =υ х "(t) =x"" (t )= -ω 2 x m cos (ωt + φ 0)=-ω 2 x
Знак минус в этом выражении означает, что ускорение a (t ) всегда имеет знак, противоположный знаку смещения x (t ), и, следовательно, по второму закону Ньютона сила, заставляющая тело совершать гармонические колебания, направлена всегда в сторону положения равновесия (x = 0).
На рисунке приведены графики координаты, скорости и ускорения тела, совершающего гармонические колебания.
Графики координаты x(t), скорости υ(t) и ускорения a(t) тела, совершающего гармонические колебания.
Пружинный маятник.
Пружинным маятником называют груз некоторой массы m, прикрепленный к пружине жесткости k, второй конец которой закреплен неподвижно .
Собственная частота ω 0 свободных колебаний груза на пружине находится по формуле:
Период T гармонических колебаний груза на пружине равен
Значит, период колебаний пружинного маятника зависит от массы груза и от жесткости пружины.
Физические свойства колебательной системы определяют только собственную частоту колебаний ω 0 и период T . Такие параметры процесса колебаний, как амплитуда x m и начальная фаза φ 0 , определяются способом, с помощью которого система была выведена из состояния равновесия в начальный момент времени.
Математическим маятником называют тело небольших размеров, подвешенное на тонкой нерастяжимой нити, масса которой пренебрежимо мала по сравнению с массой тела.
В положении равновесия, когда маятник висит по отвесу, сила тяжести уравновешивается силой натяжения нити N. При отклонении маятника из положения равновесия на некоторый угол φ появляется касательная составляющая силы тяжести F τ = –mg sin φ. Знак «минус» в этой формуле означает, что касательная составляющая направлена в сторону, противоположную отклонению маятника.
Математический маятник.φ – угловое отклонение маятника от положения равновесия,
x = lφ – смещение маятника по дуге
Собственная частота малых колебаний математического маятника выражается формулой:
Период колебаний математического маятника:
Значит, период колебаний математического маятника зависит отдлины нити и от ускорения свободного падения той местности, где установлен маятник.
Свободные и вынужденные колебания.
Механические колебания, как и колебательные процессы любой другой физической природы, могут быть свободными и вынужденными .
Свободные колебания – это колебания, которые возникают в системе под действием внутренних сил, после того, как система была выведена из положения устойчивого равновесия.
Колебания груза на пружине или колебания маятника являются свободными колебаниями.
Для того, чтобы свободные колебания совершались по гармоническому закону, необходимо, чтобы сила, стремящаяся возвратить тело в положение равновесия, была пропорциональна смещению тела из положения равновесия и направлена в сторону, противоположную смещению .
В реальных условиях любая колебательная система находится под воздействием сил трения (сопротивления). При этом часть механической энергии превращается во внутреннюю энергию теплового движения атомов и молекул, и колебания становятся затухающими .
Затухающими называют колебания, амплитуда которых уменьшается со временем .
Чтобы колебания не затухали, необходимо сообщать системе дополнительную энегрию, т.е. воздействовать на колебательную систему периодической силой (например, для раскачивания качели).
Колебания, совершающиеся под воздействием внешней периодически изменяющейся силы, называются вынужденными .
Внешняя сила совершает положительную работу и обеспечивает приток энергии к колебательной системе. Она не дает колебаниям затухать, несмотря на действие сил трения.
Периодическая внешняя сила может изменяться во времени по различным законам. Особый интерес представляет случай, когда внешняя сила, изменяющаяся по гармоническому закону с частотой ω, воздействует на колебательную систему, способную совершать собственные колебания на некоторой частоте ω 0 .
Если свободные колебания происходят на частоте ω 0 , которая определяется параметрами системы, то установившиеся вынужденные колебания всегда происходят на частоте ω внешней силы .
Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при совпадении частоты собственных колебаний с частотой внешней вынуждающей силы называется резонансом .
Зависимость амплитуды x m вынужденных колебаний от частоты ω вынуждающей силы называется резонансной характеристикой или резонансной кривой .
Резонансные кривые при различных уровнях затухания:
1 – колебательная система без трения; при резонансе амплитуда x m вынужденных колебаний неограниченно возрастает;
2, 3, 4 – реальные резонансные кривые для колебательных систем с различным трением.
В отсутствие трения амплитуда вынужденных колебаний при резонансе должна неограниченно возрастать. В реальных условиях амплитуда установившихся вынужденных колебаний определяется условием: работа внешней силы в течение периода колебаний должна равняться потерям механической энергии за то же время из-за трения. Чем меньше трение, тем больше амплитуда вынужденных колебаний при резонансе.
Явление резонанса может явиться причиной разрушения мостов, зданий и других сооружений, если собственные частоты их колебаний совпадут с частотой периодически действующей силы, возникшей, например, из-за вращения несбалансированного мотора.
Основные понятия: затухающие колебания, свободные колебания, незатухающие колебания, вынужденные колебания, автоколебания .
Полная механическая энергия маятника E - сумма его потенциальной Е п = mgh и кинетической Е к = mυ 2 /2 энергий:
Е = Е п + Е к = mgh + mυ 2 /2. (1)
На рис.1 схематически представлено превращение потенциальной энергии математического маятника в кинетическую и наоборот.
Рис.1. Превращение энергии при колебательном движении математического маятника.
Когда маятник находится в т.А (точка, где смещение маятника от положения равновесия максимально), то его кинетическая энергия равна минимально возможному значению - нулю - Е к min = 0, а потенциальная энергия максимальна и равна E п max = mgh max . Таким образом, полная механическая энергия маятника в т.А в соответствии с (1) равна:
В точке А: Е = E п max + Е к min = mgh max + 0 = mgh max .
Когда маятник находится в какой-либо промежуточной точке между точками А (точка, где смещение маятника от положения равновесия максимально) и О (положение равновесия), то его полная механическая энергия E в соответствии с (1) равна:
В промежуточных точках: Е = Е п + Е к = mgh + mυ 2 /2 ,
Е п и Е к принимают некоторые промежуточные значения большие 0 и меньшие максимального значения: Е п = mgh < mgh max , Е к = mυ 2 /2 < mυ max 2 /2.
Когда маятник проходит точку О (положение равновесия), то его кинетическая энергия максимальна и равна Е к max = mυ max 2 /2, а потенциальная энергия в свою очередь теперь принимает нулевое значение Е п = 0:
В точке О: Е = E п min + Е к max = 0 + mυ max 2 /2 .
Таким образом, можно составить цепочку превращений одного вида энергии в другой при движении математического маятника от одной точки к другой (рис.1):
точка А -- точка N -- точка O -- точка M -- точка B --…..
E п max -- Е п + Е к -- Е к max -- Е’ п + Е’ к -- E п max -- …..
Е = Е п + Е к = mgh + mυ 2 /2 = Е к max = mυ max 2 /2 = E п max = mgh max (2)
Для пружинного маятника (рис.2) превращение энергии происходит аналогично.
Рис. 3. Автоколебательная система.
Перейти к следующему 34-му уроку: Распространение колебаний в среде. Волны.
Перейти к конспектов за 9 класс.
Определение
Математический маятник - это колебательная система, являющаяся частным случаем физического маятника, вся масса которого сосредоточена в одной точке, центре масс маятника.
Обычно математический маятник представляют как шарик, подвешенный на длинной невесомой и нерастяжимой нити. Это идеализированная система, совершающая гармонические колебания под действием силы тяжести. Хорошим приближением к математическому маятнику массивный маленький шарик, осуществляющий колебания на тонкой длинной нити.
Галилей первым изучал свойства математического маятника, рассматривая качание паникадила на длинной цепи. Он получил, что период колебаний математического маятника не зависит от амплитуды. Если при запуске мятника отклонять его на разные малые углы, то его колебания будут происходить с одним периодом, но разными амплитудами. Это свойство получило название изохронизма.
Уравнение движения математического маятника
Математический маятник - классический пример гармонического осциллятора. Он совершает гармонические колебания, которые описываются дифференциальным уравнением:
\[\ddot{\varphi }+{\omega }^2_0\varphi =0\ \left(1\right),\]
где $\varphi $ - угол отклонения нити (подвеса) от положения равновесия.
Решением уравнения (1) является функция $\varphi (t):$
\[\varphi (t)={\varphi }_0{\cos \left({\omega }_0t+\alpha \right)\left(2\right),\ }\]
где $\alpha $ - начальная фаза колебаний; ${\varphi }_0$ - амплитуда колебаний; ${\omega }_0$ - циклическая частота.
Колебания гармонического осциллятора - это важный пример периодического движения. Осциллятор служит моделью во многих задачах классической и квантовой механики.
Циклическая частота и период колебаний математического маятника
Циклическая частота математического маятника зависит только от длины его подвеса:
\[\ {\omega }_0=\sqrt{\frac{g}{l}}\left(3\right).\]
Период колебаний математического маятника ($T$) в этом случае равен:
Выражение (4) показывает, что период математического маятника зависит только от длины его подвеса (расстояния от точки подвеса до центра тяжести груза) и ускорения свободного падения.
Уравнение энергии для математического маятника
При рассмотрении колебаний механических систем с одной степенью свободы часто берут в качестве исходного не уравнения движения Ньютона, а уравнение энергии. Так как его проще составлять, и оно является уравнением первого порядка по времени. Предположим, что трение в системе отсутствует. Закон сохранения энергии для совершающего свободные колебания математического маятника (колебания малые) запишем как:
где $E_k$ - кинетическая энергия маятника; $E_p$ - потенциальная энергия маятника; $v$ - скорость движения маятника; $x$ - линейное смещение груза маятника от положения равновесия по дуге окружности радиуса $l$, при этом угол - смещение связан с $x$ как:
\[\varphi =\frac{x}{l}\left(6\right).\]
Максимальное значение потенциальной энергии математического маятника равно:
Максимальная величина кинетической энергии:
где $h_m$ - максимальная высота подъема маятника; $x_m$- максимальное отклонение маятника от положения равновесия; $v_m={\omega }_0x_m$ - максимальная скорость.
Примеры задач с решением
Пример 1
Задание. Какова максимальная высота подъема шарика математического маятника, если его скорость движения при прохождении положения равновесия составляла $v$?
Решение. Сделаем рисунок.
Пусть ноль потенциальной энергии шарика в его положении равновесия (точка 0).В этой точке скорость шарика максимальна и равна по условию задачи $v$. В точке максимального подъема шарика над положением равновесия (точка A), скорость шарика равна нулю, потенциальная энергия максимальна. Запишем закон сохранения энергии для рассмотренных двух положений шарика:
\[\frac{mv^2}{2}=mgh\ \left(1.1\right).\]
Из уравнения (1.1) найдем искомую высоту:
Ответ. $h=\frac{v^2}{2g}$
Пример 2
Задание. Каково ускорение силы тяжести, если математический маятник имеющий длину $l=1\ м$, совершает колебания с периодом равным $T=2\ с$? Считайте колебания математического маятника малыми.\textit{}
Решение. За основу решения задачи примем формулу для вычисления периода малых колебаний:
Выразим из нее ускорение:
Проведем вычисления ускорения силы тяжести:
Ответ. $g=9,87\ \frac{м}{с^2}$
Повторение
Полная механическая энергия тела
\(W=W_{k} +W_{p1} +W_{p2}, \; \; \; W_{k} =\frac{m\cdot \upsilon ^{2} }{2}, \; \; \; W_{p1} =m\cdot g\cdot h, \; \; \; W_{p2} =\frac{k\cdot \Delta l^{2} }{2},\)
где W k - кинетическая энергия тела в данный момент времени (энергия движения), m - масса тела, υ - значение скорости тела в данный момент времени, W p 1 - потенциальная энергия тела, поднятого на высоту h , в данный момент времени (энергия взаимодействия), h - высота подъема тела в данный момент времени, W p 2 - потенциальная энергия деформированного тела в данный момент времени, Δl - абсолютное удлинение тела в данный момент времени.
Если в замкнутой системе нет внешних сил (например, силы трения), то полная механическая энергия замкнутой системы сохраняется.
Математический маятник
Рассмотрим превращения энергии при колебаниях математического маятника. Выберем систему отсчета таким образом, чтобы в положении равновесия его потенциальная энергия была равна нулю.
При колебаниях математического маятника изменяется высота h грузика относительно положения равновесия и изменяется его скорость υ (рис. 1). Причем при максимальных смещениях высота достигает максимального значения h max , а скорость становится равной нулю, в положении равновесия наоборот: высота тела равна нулю, а скорость достигает максимального значения υ max .
Так как высота тела определяет его потенциальную энергию W p \(\left(W_{p} =m\cdot g\cdot h\right),\) а скорость - кинетическую энергию W k \(\left(W_{k} =\frac{m\cdot \upsilon ^{2}}{2} \right),\) то вместе с изменением высоты и скорости, будут изменяться и энергии.
Обозначения в таблице:
\(W_{p\; \max } = m\cdot g\cdot h_{\max }, \; \; \; W_{p2} =m\cdot g\cdot h_{2}, \; \; \; W_{p4} =m\cdot g\cdot h_{4}, \; \; \; W_{p6} =m\cdot g\cdot h_{6},\)
Пружинный маятник
Рассмотрим превращения энергии при колебаниях горизонтального пружинного маятника. Выберем систему отсчета таким образом, чтобы в положении равновесия его потенциальная энергия была равна нулю.
При колебаниях пружинного маятника изменяется абсолютное удлинение пружины Δl относительно положения равновесия (т.е. изменяется смещение грузика x = Δl ) и изменяется скорость грузика υ (рис. 3). Причем при максимальных смещениях абсолютное удлинение достигает максимального значения Δl max , а скорость становится равной нулю, в положении равновесия наоборот: абсолютное удлинение равно нулю, а скорость достигает максимального значения υ max .
Так как абсолютное удлинение пружины определяет ее потенциальную энергию W p \(\left(W_{p} =\frac{k\cdot \Delta l^{2}}{2} \right),\) а скорость - кинетическую энергию W k \(\left(W_{k} =\frac{m\cdot \upsilon ^{2}}{2} \right),\) то вместе с изменением абсолютного удлинения и скорости, будут изменяться и энергии.
Обозначения в таблице:
\(W_{p\; \max } =\frac{k\cdot x_{\max }^{2} }{2}, \;\;\; W_{p2} =\frac{k\cdot x_{2}^{2} }{2}, \;\;\; W_{p4} =\frac{k\cdot x_{4}^{2} }{2}, \;\;\; W_{p6} =\frac{k\cdot x_{6}^{2} }{2},\)
\(W_{k\; \max } =\frac{m\cdot \upsilon _{\max }^{2} }{2}, \; \; \; W_{k2} =\frac{m\cdot \upsilon _{2}^{2} }{2}, \; \; \; W_{k4} =\frac{m\cdot \upsilon _{4}^{2} }{2}, \; \; \; W_{k6} =\frac{m\cdot \upsilon _{6}^{2} }{2}.\)
Полная энергия маятника сохраняется с течением времени, поскольку нет силы трения. Тогда
\(W=W_{k\, \max } = W_{p\, \max } = W_{k2} + W_{p2} = W_{k4} +W_{p4} = ...\)
Если для вертикального пружинного маятника выбрать систему отсчета таким образом, чтобы в положении равновесия его потенциальная энергия была равна нулю, то все описанное выше для горизонтального маятника можно применить для данного маятника.
Литература
- Жилко, В.В. Физика: учеб. Пособие для 11 класса общеобразоват. шк. с рус. яз. обучения / В.В.Жилко, Л.Г.Маркович. - Минск: Нар. Асвета, 2009. - С. 19-21.