Закон сохранения энергии формулировка. Закон сохранения механической энергии

Полная механическая энергия замкнутой системы тел остается неизменной

Закон сохранения энергии можно представить в виде

Если между телами действуют силы трения, то закон сохранения энергии видоизменяется. Изменение полной механической энергии равно работе сил трения

Рассмотрим свободное падение тела с некоторой высоты h1 . Тело еще не движется (допустим, мы его держим), скорость равна нулю, кинетическая энергия равна нулю. Потенциальная энергия максимальная, так как сейчас тело находится выше всего от земли, чем в состоянии 2 или 3.

В состоянии 2 тело обладает кинетической энергией (так как уже развило скорость), но при этом потенциальная энергия уменьшилась, так как h2 меньше h1. Часть потенциальной энергии перешло в кинетическую.

Состояние 3 - это состояние перед самой остановкой. Тело как бы только-только дотронулось до земли, при этом скорость максимальная. Тело обладает максимальной кинетической энергией. Потенциальная энергия равна нулю (тело находится на земле).

Полные механические энергии равны между собой , если пренебрегать силой сопротивления воздуха. Например, максимальная потенциальная энергия в состоянии 1 равна максимальной кинетической энергии в состоянии 3.

А куда потом исчезает кинетическая энергия? Исчезает бесследно? Опыт показывает, что механическое движение никогда не исчезает бесследно и никогда оно не возникает само собой. Во время торможения тела произошло нагревание поверхностей. В результате действия сил трения кинетическая энергия не исчезла, а превратилась во внутреннюю энергию теплового движения молекул.

При любых физических взаимодействиях энергия не возникает и не исчезает, а только превращается из одной формы в другую.

Главное запомнить

1) Суть закона сохранения энергии

Общая форма закона сохранения и превращения энергии имеет вид

Изучая тепловые процессы, мы будем рассматривать формулу
При исследовании тепловых процессов не рассматривается изменение механической энергии, то есть

В общем случае тело обладает одновременно как кинетической, так и потенциальной энергией. Их сумму называют полной механической энергией :

E = E к + E п (15.1)

Это понятие было введено в 1847 г. 26-летним немецким ученым Г. Гельмгольцем.

Что происходит с полной механической энергией по мере движения тела? Чтобы выяснить это, рассмотрим простое явление.

Бросим вертикально вверх мяч. Придав мячу скорость, мы тем самым сообщим ему некоторую кинетическую энергию. По мере движения мяча вверх его движение будет замедляться притяжением Земли и скорость, а вместе с ней и кинетическая энергия мяча будут становиться все меньше и меньше. Потенциальная же энергия мяча вместе с высотой h будет при этом возрастать. В высшей точке траектории (на максимальной высоте) потенциальная энергия мяча достигнет своего наибольшего значения, а кинетическая энергия окажется равной нулю. После этого мяч начнет падать вниз, постепенно набирая скорость. Кинетическая энергия при этом начнет увеличиваться, а потенциальная энергия (из-за уменьшения высоты) - убывать. В момент удара о землю кинетическая энергия мяча достигнет максимального значения, а потенциальная энергия обратится в нуль.

Итак, когда кинетическая энергия тела уменьшается, потенциальная энергия возрастает, и наоборот, когда кинетическая энергия тела увеличивается, его потенциальная энергия убывает. Изучение свободного падения тела (в отсутствие сопротивления воздуха) показывает, что всякое уменьшение одного из этих видов энергии сопровождается равным увеличением другого вида энергии. Полная же механическая энергия тела при этом сохраняется. В этом состоит закон сохранения механической энергии :

Полная механическая энергия тела, на которое не действуют силы трения и сопротивления, в процессе его движения остается неизменной.

Если обозначить начальную и конечную энергии тела через E и E", то закон сохранения энергии можно выразить в виде следующего равенства:

Предположим, что свободно движущееся тело в начальный момент времени находилось на высоте h0 и имело при этом скорость v0. Тогда его полная механическая энергия в этот момент времени была равна

Если спустя некоторое время рассматриваемое тело окажется на высоте h, имея скорость v (рис. 28), то его полная механическая энергия станет равной

Согласно закону сохранения энергии, оба эти значения энергии должны совпадать. Поэтому

Если начальные значения h0 и v0 известны, то это уравнение позволяет найти скорость тела v на высоте h или, наоборот, высоту h, на которой тело будет иметь заданную скорость v. Масса тела при этом никакой роли играть не будет, так как в уравнении (15.5) она сокращается.

Следует помнить, что полная механическая энергия сохраняется лишь тогда, когда отсутствуют силы трения и сопротивления. Если же эти силы присутствуют, то их действие приводит к уменьшению механической энергии.

1. Что называют полной механической энергией? 2. Сформулируйте закон сохранения механической энергии. 3. С какой энергией - кинетической или потенциальной - совпадает полная механическая энергия свободно падающего тела в момент удара о землю? 4. С какой энергией совпадает полная механическая энергия брошенного вертикально вверх мяча в момент, когда он оказывается в высшей точке своего полета? 5. Что происходит с полной механической энергией тела при наличии сил трения и сопротивления?

Звучит следующим образом —

НИЧТО НЕ ВОЗНИКАЕТ НИОТКУДА И НЕ ИСЧЕЗАЕТ В НИКУДА.

Фраза всем знакомая ещё из средней школы из уроков физики, там всем нам подробно рассказывали, как происходит векторное взаимодействие энергий, как они компенсируются и так далее.

Для нашего с вами практического применения надо этот закон сформулировать немного по-другому:

если вы хотите, чтобы у вас что-то появилось , то, сначала надо отдать некоторое количество энергии из себя, а затем получить взамен то, что соответствует количеству и качеству отданной вами энергии.

Если вы вдруг захотели, чтобы вас понимали и хорошо к вам относились, надо сначала самому начать понимать и хорошо относиться к другим, и лишь затем у вас появляется шанс получить желаемое отношение.

Это схема в чистом виде, естественно немного упрощена. Но понимание причин надо начинать именно с таких простых, утрированных примеров, а уж затем переходить к более сложным.

Продолжаем рассматривать простые примеры. Хотим получить деньги , тема актуальная. Что надо сделать? Провести определённую работу, затратить силы, знание, время, и получить заслуженную денежную компенсацию. Всё просто и понятно.

Просто так никому ничего не даётся

В жизни — так почему-то не получается. Почему? Большинство людей хотят поменьше работать и получать побольше. Замечательное желание, если у вас правильно выбрана профессия и вы продолжаете в ней развиваться и совершенствоваться. Если это пытаться реализовать другими способами , что-то похитрее провернуть, где-то обмануть — результат может получиться, но, через некоторое время, всё равно придется затратить дополнительное количество энергии за незаслуженный результат, плюс, разбираться с дополнительными процессами, которые будут требовать обязательной компенсации.

И чем больше величина полученных денег, тем больше размер необходимой энергии которую вы будете вынуждены затратить. И тут говорить об управлении процессом очень даже сложно. Когда идет нарушение закона, вы не выбираете то, как и где вы будете затрачивать энергию, процессы запущенные ранее будут сами требовать от вас затрат, они возникают без вашего желания и контроля , и кроме головной боли и колоссальных временных затрат не приносят ничего.

Самый простой пример с лотереями. Если есть желание, посмотрите на судьбы людей, которые получили крупные выигрыши в различных лотереях. Есть даже документальные фильмы по этому поводу.

Что происходит с человеком? Вдруг, совершенно неожиданно, не затратив ничего, кроме несколько рублей или долларов за билет, человек получает значительную сумму с шестью и более нулями.

Работу он произвел? Продукт он создал? Пользу он кому-нибудь принёс? Он не сделал ничего полезного и значимого для этого мира. А энергии в виде денежных знаков получил очень даже немало. Что с ним происходит дальше, вы наверное уже догадываетесь. Он начинает за это платить . И тут не придётся выбирать как и кому, ситуации начинают возникать одна за другой, не давая времени на передышку и минимальный анализ. Человек становится полностью зависим от этих денег, и жизнь быстренько превращается в один сплошной кошмар из непредсказуемых событий.

И чем заканчивают большинство таких «счастливчиков» вы, наверное, догадываетесь.

А тему лотерей продолжают раскручивать и рекламировать сами организаторы, им это выгодно, они получают хороший доход от таких желающих легких денег. И, что интересно, они становятся своего рода «санитарами леса» , залавливая тех, кто не хочет думать, тех кто любит сладкое слово «халява».

Дальше мы ещё рассмотрим много примеров применения этого закона, а пока постарайтесь на самых простых примерах отследить то, как он работает, и постепенно приступайте к корректировке своих процессов, надо когда-то начинать.

Другой пример — поиск «второй половинки» для строительства семьи. Задача не из простых, если не знать Универсальные Законы.

Что получается в обычной ситуации? Человек ищет того, кто его полюбит . Пообщался с одним объектом, вроде не любит, со вторым, та же история, где же найти того, кто сможет тебя любить?

А начинать-то надо с себя. Если ты умеешь любить , то у тебя все шансы встретить такого же человека, умеющего или желающего научиться любить. А если ты дожидаешься, пока тебя полюбят, не прилагая к этому никаких усилий, в плане собственного развития, то и шансы-то минимальны.

ПОДОБНОЕ ПРИТЯГИВАЕТ ПОДОБНОЕ

— это один из аспектов Универсального Закона Сохранения Энергии.

Схема-то проста: сначала продумать то, что такое любовь , затем приступить к реализации устойчивого умения любить, и, через определённый промежуток времени, подтянется такой же желающий научиться, но противоположного пола, вот и приступайте к строительству семейства.

Это, как обычно, не озвучивают в широких кругах, поэтому и семей удачных можно по пальцам пересчитать. Даже разделение придумали — либо по любви, либо по расчёту. А тут не надо разделять, надо делать семью и по любви и по расчёту , тогда все шансы на успех, половинными мерами тут обойтись не получится.

Во всех явлениях, происходящих в природе, энергия не возникает и не исчезает. Она только превращается из одного вида в другой, при этом ее значение сохраняется.

Закон сохранения энергии - фундаментальный закон природы, заключающийся в том, что для изолированной физической системы может быть введена скалярная физическая величина, являющаяся функцией параметров системы и называемая энергией, которая сохраняется с течением времени. Поскольку закон сохранения энергии относится не к конкретным величинам и явлениям, а отражает общую, применимую везде и всегда, закономерность, то его можно именовать не законом, а принципом сохранения энергии.

Закон сохранения механической энергии

В механике закон сохранения энергии утверждает, что в замкнутой системе частиц, полная энергия, которая является суммой кинетической и потенциальной энергии и не зависит от времени, то есть является интегралом движения. Закон сохранения энергии справедлив только для замкнутых систем, то есть при отсутствии внешних полей или взаимодействий.

Силы взаимодействия между телами, для которых выполняется закон сохранения механической энергии называются консервативными силами. Закон сохранения механической энергии не выполняется для сил трения, поскольку при наличии сил трения происходит преобразование механической энергии в тепловую.

Математическая формулировка

Эволюция механической системы материальных точек с массами $m_i$ по второму закону Ньютона удовлетворяет системе уравнений

\[ m_i\dot{\mathbf{v}_i} = \mathbf{F}_i \]

где
$\mathbf{v}_i $ — скорости материальных точек, а $\mathbf{F}_i $ — силы, действующие на эти точки.

Если подать силы, как сумму потенциальных сил $\mathbf{F}_i^p $ и непотенциальных сил $\mathbf{F}_i^d $ , а потенциальные силы записать в виде

\[ \mathbf{F}_i^p = - \nabla_i U(\mathbf{r}_1, \mathbf{r}_2, \ldots \mathbf{r}_N) \]

то, домножив все уравнения на $\mathbf{v}_i $ можно получить

\[ \frac{d}{dt} \sum_i \frac{mv_i^2}{2} = - \sum_i \frac{d\mathbf{r}_i}{dt}\cdot \nabla_i U(\mathbf{r}_1, \mathbf{r}_2, \ldots \mathbf{r}_N) + \sum_i \frac{d\mathbf{r}_i}{dt} \cdot \mathbf{F}_i^d \]

Первая сумма в правой части уравнения является ни чем иным, как производной по времени от сложной функции, а следовательно, если ввести обозначения

\[ E = \sum_i \frac{mv_i^2}{2} + U(\mathbf{r}_1, \mathbf{r}_2, \ldots \mathbf{r}_N) \]

и назвать эту величину механической энергией , то, интегрируя уравнения с момента времени t=0 до момента времени t, можно получить

\[ E(t) - E(0) = \int_L \mathbf{F}_i^d \cdot d\mathbf{r}_i \]

где интегрирование проводится вдоль траекторий движения материальных точек.

Таким образом, изменение механической энергии системы материальных точек со временем равно работе непотенциальных сил.

Закон сохранения энергии в механике выполняется только для систем, в которых все силы потенциальные.

Закон сохранения энергии для электромагнитного поля

В электродинамике закон сохранения энергии исторически формулируется в виде теоремы Пойтинга.

Изменение электромагнитной энергии, заключенной в неком объеме, за некий интервал времени равно потоку электромагнитной энергии через поверхность, ограничивающую данный объем, и количеству тепловой энергии, выделившейся в данном объеме, взятой с обратным знаком.

$ \frac{d}{dt}\int_{V}\omega_{em}dV=-\oint_{\partial V}\vec{S}d\vec{\sigma}-\int_V \vec{j}\cdot \vec{E}dV $

Электромагнитное поле обладает энергией, которая распределяется в пространстве, занятом полем. При изменении характеристик поля меняется и распределение энергии. Она перетекает из одной области пространства в другую, переходя, возможно, в другие формы. Закон сохранения энергии для электромагнитного поля является следствием полевых уравнений.

Внутри некоторой замкнутой поверхности S, ограничивающей объем пространства V , занятого полем, содержится энергия W — энергия электромагнитного поля:

W = Σ(εε 0 E i 2 / 2 + μμ 0 H i 2 / 2) ΔV i .

Если в этом объеме имеются токи, то электрическое поле производит над движущимися зарядами работу, за единицу времени равную

N = Σ i j̅ i ×E̅ i . ΔV i .

Это величина энергии поля, которая переходит в другие формы. Из уравнений Максвелла следует, что

ΔW + NΔt = -Δt ∮ S S̅ × n̅ . dA,

где ΔW — изменение энергии электромагнитного поля в рассматриваемом объеме за время Δt, а вектор S̅ = E̅ × H̅ называется вектором Пойнтинга .

Это закон сохранения энергии в электродинамике .

Через малую площадку величиной ΔA с единичным вектором нормали n̅ за единицу времени в направлении вектора n̅ протекает энергия S̅ × n̅ . ΔA, где S̅ — значение вектора Пойнтинга в пределах площадки. Сумма этих величин по всем элементам замкнутой поверхности (обозначена знаком интеграла), стоящая в правой части равенства , представляет собой энергию, вытекающую из объема, ограниченного поверхностью, за единицу времени (если эта величина отрицательна, то энергия втекает в объем). Вектор Пойнтинга определяет поток энергии электромагнитного поля через площадку, он отличен от нуля всюду, где векторное произведение векторов напряженности электрического и магнитного полей отлично от нуля.

Можно выделить три главных направления практического применения электричества: передача и преобразование информации (радио, телевидение, компьютеры), передача импульса и момента импульса (электродвигатели), преобразование и передача энергии (электрогенераторы и линии электропередачи). И импульс, и энергия переносятся полем через пустое пространство, наличие среды приводит лишь к потерям. Энергия не передается по проводам! Провода с током нужны для формирования электрического и магнитного полей такой конфигурации, чтобы поток энергии, определяемый векторами Пойнтинга во всех точках пространства, был направлен от источника энергии к потребителю. Энергия может передаваться и без проводов, тогда ее переносят электромагнитные волны. (Внутренняя энергия Солнца убывает, уносится электромагнитными волнами, в основном светом. Благодаря части этой энергии поддерживается жизнь на Земле.)

В вашем браузере отключен Javascript.
Чтобы произвести расчеты, необходимо разрешить элементы ActiveX!

Если тело некоторой массы m двигалось под действием приложенных сил, и его скорость изменилась от до то силы совершили определенную работу A .

Работа всех приложенных сил равна работе равнодействующей силы

Между изменением скорости тела и работой, совершенной приложенными к телу силами, существует связь. Эту связь проще всего установить, рассматривая движение тела вдоль прямой линии под действием постоянной силы В этом случае векторы силы перемещения скорости и ускорения направлены вдоль одной прямой, и тело совершает прямолинейное равноускоренное движение. Направив координатную ось вдоль прямой движения, можно рассматривать F , s , υ и a как алгебраические величины (положительные или отрицательные в зависимости от направления соответствующего вектора). Тогда работу силы можно записать как A = Fs . При равноускоренном движении перемещение s выражается формулой

Это выражение показывает, что работа, совершенная силой (или равнодействующей всех сил), связана с изменением квадрата скорости (а не самой скорости).

Физическая величина, равная половине произведения массы тела на квадрат его скорости, называется кинетической энергией тела:

Это утверждение называют теоремой о кинетической энергии . Теорема о кинетической энергии справедлива и в общем случае, когда тело движется под действием изменяющейся силы, направление которой не совпадает с направлением перемещения.

Кинетическая энергия – это энергия движения. Кинетическая энергия тела массой m , движущегося со скоростью равна работе, которую должна совершить сила, приложенная к покоящемуся телу, чтобы сообщить ему эту скорость:

В физике наряду с кинетической энергией или энергией движения важную роль играет понятие потенциальной энергии или энергии взаимодействия тел .

Потенциальная энергия определяется взаимным положением тел (например, положением тела относительно поверхности Земли). Понятие потенциальной энергии можно ввести только для сил, работа которых не зависит от траектории движения и определяется только начальным и конечным положениями тела . Такие силы называются консервативными .

Работа консервативных сил на замкнутой траектории равна нулю . Это утверждение поясняет рисунок ниже

Свойством консервативности обладают сила тяжести и сила упругости. Для этих сил можно ввести понятие потенциальной энергии.

Если тело перемещается вблизи поверхности Земли, то на него действует постоянная по величине и направлению сила тяжести Работа этой силы зависит только от вертикального перемещения тела. На любом участке пути работу силы тяжести можно записать в проекциях вектора перемещения на ось OY , направленную вертикально вверх:

Эта работа равна изменению некоторой физической величины mgh , взятому с противоположным знаком. Эту физическую величину называют потенциальной энергией тела в поле силы тяжести

E р = mgh .

Она равна работе, которую совершает сила тяжести при опускании тела на нулевой уровень.

Если рассматривать движение тел в поле тяготения Земли на значительных расстояниях от нее, то при определении потенциальной энергии необходимо принимать во внимание зависимость силы тяготения от расстояния до центра Земли (закон всемирного тяготени). Для сил всемирного тяготения потенциальную энергию удобно отсчитывать от бесконечно удаленной точки, т. е. полагать потенциальную энергию тела в бесконечно удаленной точке равной нулю. Формула, выражающая потенциальную энергию тела массой m на расстоянии r от центра Земли, имеет вид:

где M – масса Земли, G – гравитационная постоянная.

Понятие потенциальной энергии можно ввести и для силы упругости. Эта сила также обладает свойством консервативности. Растягивая (или сжимая) пружину, мы можем делать это различными способами.

Можно просто удлинить пружину на величину x , или сначала удлинить ее на 2x , а затем уменьшить удлинение до значения x и т. д. Во всех этих случаях сила упругости совершает одну и ту же работу, которая зависит только от удлинения пружины x в конечном состоянии, если первоначально пружина была недеформирована. Эта работа равна работе внешней силы A , взятой с противоположным знаком:

Потенциальная энергия упруго деформированного тела равна работе силы упругости при переходе из данного состояния в состояние с нулевой деформацией.

Если в начальном состоянии пружина уже была деформирована, а ее удлинение было равно x 1 , тогда при переходе в новое состояние с удлинением x 2 сила упругости совершит работу, равную изменению потенциальной энергии, взятому с противоположным знаком:

Потенциальная энергия при упругой деформации – это энергия взаимодействия отдельных частей тела между собой посредством сил упругости.

Свойством консервативности наряду с силой тяжести и силой упругости обладают некоторые другие виды сил, например, сила электростатического взаимодействия между заряженными телами. Сила трения не обладает этим свойством. Работа силы трения зависит от пройденного пути. Понятие потенциальной энергии для силы трения вводить нельзя.

E k1 + E p1 = E k2 + E p2 .

Сумма кинетической и потенциальной энергии тел, составляющих замкнутую систему и взаимодействующих между собой посредством сил тяготения и сил упругости, остается неизменной.

Это утверждение выражает закон сохранения энергии в механических процессах . Он является следствием законов Ньютона. Сумму E = E k + E p называют полной механической энергией . Закон сохранения механической энергии выполняется только тогда, когда тела в замкнутой системе взаимодействуют между собой консервативными силами, то есть силами, для которых можно ввести понятие потенциальной энергии.

Пример применения закона сохранения энергии – нахождение минимальной прочности легкой нерастяжимой нити, удерживающей тело массой m при его вращении в вертикальной плоскости (задача Х. Гюйгенса). Рис. 1.20.1 поясняет решение этой задачи.

Закон сохранения энергии для тела в верхней и нижней точках траектории записывается в виде:

Из этих соотношений следует:

Прочность нити должна, очевидно, превышать это значение.

Очень важно отметить, что закон сохранения механической энергии позволил получить связь между координатами и скоростями тела в двух разных точках траектории без анализа закона движения тела во всех промежуточных точках. Применение закона сохранения механической энергии может в значительной степени упростить решение многих задач.

В реальных условиях практически всегда на движущиеся тела наряду с силами тяготения, силами упругости и другими консервативными силами действуют силы трения или силы сопротивления среды.

Сила трения не является консервативной. Работа силы трения зависит от длины пути.

Если между телами, составляющими замкнутую систему, действуют силы трения, то механическая энергия не сохраняется . Часть механической энергии превращается во внутреннюю энергию тел (нагревание).

При любых физических взаимодействиях энергия не возникает и не исчезает. Она лишь превращается из одной формы в другую.

Этот экспериментально установленный факт выражает фундаментальный закон природы – закон сохранения и превращения энергии .

Одним из следствий закона сохранения и превращения энергии является утверждение о невозможности создания «вечного двигателя» (perpetuum mobile) – машины, которая могла бы неопределенно долго совершать работу, не расходуя при этом энергии