Бинарным отношением на множестве x называется. Свойства отношений на множестве

Базовые понятия и утверждения

1. Множества и операции над ними. Подмножеством понимают объединение в единое целое определенных вполне различаемых объектов. Объекты при этом называютэлементами образуемого ими множества.

Для обозначения множеств используют прописные буквы, а для обозначения элементов множеств - строчные буквы латинского алфавита.

Запись означает, чтоявляется элементом множества
; в противном случае пишут
.

Множество называют конечным , если оно содержит конечное число элементов, ибесконечным , если оно содержит бесконечное число элементов. Множество, не содержащее элементов, называютпустым и обозначают символом
.

Число элементов конечного множества
называют егомощностью и обозначают
.

Множество можно описать, указав свойство, присущее элементам только этого множества. Множество всех объектов, обладающих свойством
, обозначают
. Конечное множество можно задать путем перечисления его элементов, т.е.
.

Например, запись
означает, что множество
содержит два элемента - числа
и.

Если каждый элемент множества есть элемент множестваB , то говорят, чтоестьподмножество , и пишут:
.

Заметим, что пустое множество
считают подмножеством любого множества.

Если
и
, то говорят, что множестваиравны , и пишут:
.

Если
и
, тоназываютсобственным подмножеством и, чтобы подчеркнуть это, применяют запись
.

Множество всех подмножеств множества
называют егобулеаном и обозначают
.

Например, если
, то

Вводят целый ряд операций над множествами , позволяющих получать из одних множеств другие.

1. Множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств и, называютобъединением A и B и обозначают
, т.е..

2. Множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат как множеству , так и множеству, называютпересечением A и B и обозначают
, т.е.
.

Если
, то множестваиназываютнепересекающимися .

3. Множество, состоящее из всех элементов множества , не принадлежащих множеству, называютразностью A и B и обозначают
, т.е.
.

4. Обычно в конкретных рассуждениях всякое множество рассматривают как подмножество некоторого достаточно широкого множества, которое называют универсальным . Множество элементов универсального множества, не принадлежащих множеству, называютдополнением и обозначают, т.е.
. Из определения следует, что
.

5. Множество, состоящее из упорядоченных пар
, в которых- элемент множества, а- элемент множества, называютд екартовым произведением множеств A и B и обозначают
, т.е..

Удобным приемом наглядного изображения операций являются диаграммы Эйлера - Венна. На них множества представлены плоскими фигурами (чаще всего кругами). Области, соответствующие множествам, полученным в результате операции, обычно выделяют цветом. На рис. 1.1 приведены диаграммы Эйлера - Венна, иллюстрирующие некоторые из введенных операций.





Рис. 1.1.

В качестве примеранайдем объединение, пересечение, разность и декартово произведение множеств
и
.

Поскольку
,
, то
,
,
,.

Пусть задано универсальное множество . Тогда для любых множеств
выполняются следующиесвойства :

коммутативные законы :

1.
; 2.
;

ассоциативные законы :

дистрибутивные законы :

законы идемпотентности :

7.
; 8.
;

законы де Моргана :

9.
; 10.
;

законы нуля :

11.
; 12.
;

законы единицы :

13.
; 14.
;

законы поглощения :

15.
; 16.
;

законы дополнения :

17.
; 18.
;

закон двойного дополнения :

19.
.

О том, как доказываются эти равенства, можно узнать во второй части данного параграфа.

Операции объединения, пересечения и декартова произведения можно обобщить на случай произвольного конечного числа участников.

Объединением множеств
называют множество, любой элемент которого является элементом хотя бы одного из данных множеств. Обозначение:
или.

Пересечением множеств
называют множество, любой элемент которого является элементом каждого из данных множеств. Обозначение:
или .

Декартовым произведением множеств
называют множество

В частном случае одинаковых сомножителей декартово произведение
обозначают
.

Например, если
, то

Приведем без доказательств утверждения о числе элементов конечных множеств .

1. Если между конечными множествами исуществует взаимно-однозначное соответствие, то
.

2. Если

также конечно и

Например,если
, то множество
имеет мощность
.

3. Если
- конечные попарно-непересекающиеся множества, то множество
также конечно и

Это утверждение называют правилом суммы .

4. Если
- конечные множества, то множествотакже конечно и

Последнее равенство называется формулой включений и исключений . В частных случаях двух и трех множеств она принимает вид:

Заметим, что формула включений и исключений действует и в том случае, когда множества
попарно не пересекаются (в этом случае все слагаемые в правой части формулы, содержащие пересечения множеств, обнуляются и формула трансформируется в правило суммы).

Пусть, например,
,
,
, причем
, а
. Тогда
можно найти по правилу суммы:, а для поиска
нужно использовать формулу включений и исключений:.

Пример 1.В группе из 100 туристов 65 человек знают английский язык, 55 человек знают французский и 38 человек знают оба языка. Сколько туристов в группе знает хотя бы один из этих языков?

◄ Пусть и- множества туристов, знающих соответственно английский и французский язык. Тогда
- множество туристов, знающих хотя бы один из этих языков. Число таких туристов находим по формуле включений и исключений.

Упражнение 1.1.Из 100 студентов-лингвистов польский язык изучают 42, чешский - 25, венгерский - 36, польский и чешский - 15, польский и венгерский - 14, чешский и венгерский - 12, польский, чешский и венгерский - 5. Сколько студентов не изучают ни одного из перечисленных языков?

Совокупность непустых, попарно непересекающихся подмножеств
множестваназываютразбиением , если
.

Например, для множества
совокупность подмножеств
разбиением является, а совокупность подмножеств
не является.

Упражнение 1.2. Найти все разбиения множества
и множества
.

2. Бинарные отношения на множестве. Бинарные отношения -простой и вместе с тем очень важный объект дискретной математики.

Определение. Бинарным отношением на множестве
называется подмножество декартова произведения
.

Для обозначения бинарных отношений, как правило, будем использовать строчные буквы греческого алфавита:
и т.п.

Пусть - некоторое бинарное отношение на множестве
. Если
, то говорят, чтоисвязаны бинарным отношениеми пишут
.

Пример 2. Пусть
. Тогда

и следующие множества могут служить примерами бинарных отношений на множестве
:

Перечислим ряд важных свойств , которыми могут обладать бинарные отношения.

Определенное на множестве
бинарное отношение:

рефлексивно, если для
выполняется
;

симметрично , если для
из
следует
;

антисимметрично , если для
из
и
следует
;

транзитивно, если для
из
и
следует
.

Определение. Если бинарное отношение рефлексивно, симметрично и транзитивно одновременно, то оно называется отношением эквивалентности.

Например, бинарное отношениеиз примера 2 рефлексивно, антисимметрично и транзитивно,- антисимметрично и транзитивно,- рефлексивно, симметрично, антисимметрично и транзитивно,- рефлексивно, симметрично и транзитивно. Следовательно, бинарные отношенияиявляются отношениями эквивалентности, аи- нет.

Определение. Пусть- отношение эквивалентности на множестве
и- элемент
. Классом эквивалентности элементапо бинарному отношениюназывают множество
.

Например, множества
,
,

по отношению, а
,
,
- классы эквивалентности элементов
по.

Упражнение 1.3.На множестве
определены бинарные отношения
и
. Задать эти бинарные отношения перечислением элементов, указать свойства этих бинарных отношений, определить, являются ли они отношениями эквивалентности (если являются, то найти классы эквивалентности их элементов).

Перечислим свойства классов эквивалентности , присущие любому отношению эквивалентности, определенному на произвольном множестве
.

1. Класс эквивалентности любого элемента множества
- непустое множество.

2. Классы эквивалентности любых двух элементов множества
либо не пересекаются, либо совпадают.

3. Объединение классов эквивалентности всех элементов множества
совпадает с самим множеством
.

Доказательство этих свойств приведено во второй части параграфа.

Из свойств классов эквивалентности следует утверждение: в сякое отношение эквивалентности, заданное на множестве
, порождает разбиение множества
на классы эквивалентности этого отношения.

Для иллюстрации этого утверждения вновь обратимся к бинарным отношениям ииз примера 2.

Очевидно, что классы эквивалентности
,
,
элементов множества
по отношениюне пусты, попарно не пересекаются, а их объединение совпадает с самим множеством
. Следовательно,порождает разбиение множества
на три подмножества:
,
,.

Для классов эквивалентности
,
,
элементов
по отношениюимеем: классы эквивалентности элементов
исовпадают и при этом не имеют общих элементов с классом эквивалентности элемента, объединение всех классов совпадает с множеством
. Следовательно, отношениепорождает разбиение множества
на два подмножества:
,
.

Рассмотрим еще один важный класс бинарных отношений.

Определение. Бинарное отношение называется отношением порядка, если оно рефлексивно, антисимметрично и транзитивно.

Пусть - отношение порядка на
. Если для любых двух элементовимножества
верно, что либо
, либо
, тоназывают отношениемлинейного порядка. В противном случае говорят, что- отношениечастичного порядка .

Например, отношениями порядка являются отношенияииз примера 2 (- линейного,- частичного).

Пример 3. Рассмотрим на множестве
бинарное отношение, определяемое условием. Это отношение рефлексивно, антисимметрично и транзитивно, и, значит, является отношением порядка, причем частичного, поскольку элементне связан с элементоми элементне связан с элементом.

Рассмотрим отношение «уважать», определенное на множестве всех людей %%M%%. Для полной информации о том, кто кого уважает, составим следующее множество %%R%%. Переберем все пары %%(a, b)%%, где %%a, b%% пробегают множество всех людей. Если %%a%% уважает %%b%%, то пару %%(a,b)%% отнесем к множеству %%R%%, иначе — нет.

Этот список полностью отражает отношение «уважать». Если нужно узнать, уважает ли человек %%a%% человека %%b%%, то просмотрим множество %%R%%. Если пара %%(a, b) \in R%%, то заключаем, что %%a%% уважает %%b%%. В случае %%(a,b) \notin R%% — %%a%% не уважает %%b%%.

Определение

Бинарным отношением , определенным на множестве %%M%%, называется произвольное подмножество %%R%% из декартового произведения %%M^2%%.

Пример

Рассмотрим отношение больше на множестве %%M = \{1, 2\}%%. Тогда

$$ M^2 = \big\{(1, 1), (1,2), (2,1), (2,2)\big\} $$ Из него выбирем все пары %%(a,b)%%, где %%a > b%%. Получим $$ R = \big\{(2,1)\big\} $$

Виды бинарных отношений

Рефлексивное бинарное отношение

рефлексивным , если для любого элемента %%a%% из %%M%%, выполняется условие %%a~R~a%%. $$ \begin{array}{l} \forall a\in M~~a~R~a \text{ или}\\ \forall a\in M~~(a,a) \in R. \end{array} $$

Примеры

Рассмотрим отношение больше больше рефлексивным? Если да, то каждое число является больше самого себя, что неверно. Поэтому отношение больше не рефлексивно.
Рассмотрим отношение равно на множестве действительных чисел. Оно является рефлексивным , так как каждое действительное число равно самому себе.

Симметричное бинарное отношение

Бинарное отношение %%R%% на множестве %%M%% называется симметричным , если для любых двух элементов %%a, b%% из %%M%%, из условия %%a~R~b%% следует условие %%b~R~a%%.

$$ \begin{array}{l} \forall a,b\in M~~a~R~b \rightarrow b~R~a \text{ или}\\ \forall a,b\in M~~(a,b) \in R \rightarrow (b,a) \in R. \end{array} $$

Примеры

Рассмотрим отношение больше на множестве действительных чисел. Является ли отношение больше симметричным? Оно не является симметричным, так как если %%a > b%%, то условие %%b > a%% не выполняется. Поэтому отношение больше не симметрично.
Пусть %%R%% — отношение, определенное на множестве %%M = \{a,b,c\}%%. При этом %%R = \big\{ (a,b), (b,c), (a,a), (b,a), (c,b)\big\}%%. Для этого отношения имеем %%\forall x,y \in M ~~ (x,y) \in R \rightarrow (y,x) \in R%%. По определению %%R%% симметрично.

Транзитивное бинарное отношение

Бинарное отношение %%R%% на множестве %%M%% называется транзитивным , если для любых элементов %%a, b, c%% из %%M%%, из условий %%a~R~b%% и %%b~R~c%% следует условие %%a~R~c%%.

$$ \begin{array}{l} \forall a,b,c\in M~~a~R~b \land b~R~c \rightarrow a~R~c \text{ или}\\ \forall a,b,c\in M~~(a,b) \in R \land (b,c) \in R \rightarrow (a,c) \in R. \end{array} $$

Пример

Рассмотрим отношение больше на множестве дейтсвительных чисел. Оно является транзитивным , так как для любых элементов выполняется условние %%\forall a,b,c\in M~~a > b \land b > c \rightarrow a > c%%. Так, например, подставив вместо %%a, b%% и %%c%% числа %%2, 1%% и %%0%% соответственно, получим: если %%2 > 1%% и %%1 > 0%%, то %%2 > 0%% — верное утверждение (вспомните импликацию, из истины следует истина).

Антисимметричное бинарное отношение

Бинарное отношение %%R%% на множестве %%M%% называется антисимметричным , если для любых элементов %%a, b%% из %%M%%, из условий %%a~R~b%% и %%b~R~a%% следует условие %%a = b%%.

$$ \begin{array}{l} \forall a,b,c\in M~~a~R~b \land b~R~a \rightarrow a = b \text{ или}\\ \forall a,b\in M~~(a,b) \in R \land (b,a) \in R \rightarrow a = b. \end{array} $$

Пример

Отношение больше или равно на множестве действительных чисел антисимметрично . Действительно, если %%a \geq b%% и %%b \geq a%%, %%a = b%%.

Эквивалентное бинарное отношение

эквивалентности , если оно рефлексивно , симметрично и транзитивно .

Нетрудно проверить, что отношение параллельности на множестве прямых плоскости является отношением эквивалентности.

Отношение частичного порядка

Бинарное отношение %%R%% на множестве %%M%% называется отношением частичного порядка , если оно рефлексивно , антисимметрично и транзитивно .

Отношение больше или равно на множестве действительных чисел является отношением частичного порядка.

Построение отрицаний

Пусть %%R%% — бинарное отношение на множестве %%M%%, и %%P%% — одно из следующих условий:

отношение %%R%% рефлексивно,
отношение %%R%% симметрично,
отношение %%R%% транзитивно,
отношение %%R%% антисимметрично.

Построим для каждого из них отрицание выполнения условия %%P%%.

Отрицание рефлексивности

По определению %%R%% рефлексивно, если каждый элемент множества %%M%% находится в отношении %%R%% к самому себе, то есть %%\forall a \in M~~a~R~a%%. Тогда рассмотрим отрицание рефлексивности как истинное высказывание %%\overline{\forall a \in M~~a~R~a}%%. Используем равносильность %%\overline{\forall x P(x)} \equiv \exists x \overline {P(x)}%%. В нашем случае получаем %%\forall a \in M~~a~R~a \equiv \exists a\in M~~a~\not\text{R }~a%%, что и нужно.

Аналогично получаем и остальные отрицания. В итоге получаем следующие утверждения:

%%R%% не рефлексивно тогда и только тогда, когда

$$ \exists a \in M~~a~\not R~a $$

%%R%% не симметрично тогда и только тогда, когда

$$ \exists a, b \in M~~ a~R~b \land b~\not R~a $$

%%R%% не транзитивно тогда и только тогда, когда

$$ \exists a, b, c \in M a~R~b \land b~R~c \land a~\not R~c $$

%%R%% не антисимметрично тогда и только тогда, когда

$$ \exists a, b \in M~~ a~R~b \land b~R~a \land a \neq b. $$

Определения

1. Бинарным отношением между элементами множеств А и В называется любое подмножество декартова произведения RAB, RAА.
2. Если А=В, то R - это бинарное отношение на A.
3. Обозначение: (x, y)R xRy.
4. Область определения бинарного отношения R - это множество R = {x: существует y такое, что (x, y)R}.
5. Область значений бинарного отношения R - это множество R = {y: существует x такое, что (x, y)R}.
6. Дополнение бинарного отношения R между элементами А и В - это множество R = (AB) R.
7. Обратное отношение для бинарного отношения R - это множество R1 = {(y, x) : (x, y)R}.
8. Произведение отношений R1AB и R2BC - это отношение R1 R2 = {(x, y) : существует zB такое, что (x, z)R1 и (z, y)R2}.
9. Отношение f называется функцией из А в В, если выполняется два условия:
- а) f = А, f В
- б) для всех x, y1, y2 из того, что (x, y1)f и (x, y2)f следует y1=y2.
10. Отношение f называется функцией из А на В, если в первом пункте будет выполняться f = А, f = В.
11. Обозначение: (x, y)f y = f(x).
12. Тождественная функция iA: AA определяется так: iA(x) = x.
13. Функция f называется 1-1-функцией, если для любых x1, x2, y из того, что y = f(x1) и y = f(x2) следует x1=x2.
14. Функция f: AB осуществляет взаимно однозначное соответствие между А и В, если f = А, f = В и f является 1-1-функцией.
15. Свойства бинарного отношения R на множестве А:
- - рефлексивность: (x, x)R для всех xA.
- - иррефлексивность: (x, x)R для всех xA.
- - симметричность: (x, y)R (y, x)R.
- - антисимметричность: (x, y)R и (y, x)R x=y.
- - транзитивность: (x, y)R и (y, z)R (x, z)R.
- - дихотомия: либо (x, y)R, либо (y, x)R для всех xA и yA.
16. Множества А1, A2, ..., Аr из Р(А) образуют разбиение множества А, если
- Аi , i = 1, ..., r,
- A = A1A2...Ar,
- AiAj = , i j.

Подмножества Аi , i = 1, ..., r, называются блоками разбиения.

17. Эквивалентность на множестве А - это рефлексивное, транзитивное и симметричное отношение на А.
18. Класс эквивалентности элемента x по эквивалентности R - это множество [x]R={y: (x, y)R}.
19. Фактор множество A по R - это множество классов эквивалентности элементов множества А. Обозначение: A/R.
20. Классы эквивалентности (элементы фактор множества А/R) образуют разбиение множества А. Обратно. Любому разбиению множества А соответствует отношение эквивалентности R, классы эквивалентности которого совпадают с блоками указанного разбиения. По-другому. Каждый элемент множества А попадает в некоторый класс эквивалентности из A/R. Классы эквивалентности либо не пересекаются, либо совпадают.
21. Предпорядок на множестве A - это рефлексивное и транзитивное отношение на А.
22. Частичный порядок на множестве A - это рефлексивное, транзитивное и антисимметричное отношение на А.
23. Линейный порядок на множестве A - это рефлексивное, транзитивное и антисимметричное отношение на А, удовлетворяющее свойству дихотомии.

Пусть A={1, 2, 3}, B={a, b}. Выпишем декартово произведение: AB = { (1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b) }. Возьмём любое подмножество этого декартова произведения: R = { (1, a), (1, b), (2, b) }. Тогда R - это бинарное отношение на множествах A и B.

Будет ли это отношение являться функцией? Проверим выполнение двух условий 9a) и 9б). Область определения отношения R - это множество R = {1, 2} {1, 2, 3}, то есть первое условие не выполняется, поэтому в R нужно добавить одну из пар: (3, a) или (3, b). Если добавить обе пары, то не будет выполняться второе условие, так как ab. По этой же причине из R нужно выбросить одну из пар: (1, a) или (1, b). Таким образом, отношение R = { (1, a), (2, b), (3, b) } является функцией. Заметим, что R не является 1-1 функцией.

На заданных множествах A и В функциями также будут являться следующие отношения: { (1, a), (2, a), (3, a) }, { (1, a), (2, a), (3, b) }, { (1, b), (2, b), (3, b) } и т.д.

Пусть A={1, 2, 3}. Примером отношения на множестве A является R = { (1, 1), (2, 1), (2, 3) }. Примером функции на множестве A является f = { (1, 1), (2, 1), (3, 3) }.

Примеры решения задач

1. Найти R, R, R1, RR, RR1, R1R для R = {(x, y) | x, y D и x+y0}.

Если (x, y)R, то x и y пробегают все действительные числа. Поэтому R = R = D.

Если (x, y)R, то x+y0, значит y+x0 и (y, x)R. Поэтому R1=R.

Для любых xD, yD возьмём z=-|max(x, y)|-1, тогда x+z0 и z+y0, т.е. (x, z)R и (z, y)R. Поэтому RR = RR1 = R1R = D2.

2. Для каких бинарных отношений R справедливо R1= R?

Пусть RAB. Возможны два случая:

(1) AB. Возьмём xAB. Тогда (x, x)R (x, x)R1 (x, x)R (x, x)(AB) R (x, x)R. Противоречие.
(2) AB=. Так как R1BA, а RAB, то R1= R= . Из R1 = следует, что R = . Из R = следует, что R=AB. Противоречие.

Поэтому если A и B, то таких отношений R не существует.

3. На множестве D действительных чисел определим отношение R следующим образом: (x, y)R (x-y) - рациональное число. Доказать, что R есть эквивалентность.

Рефлексивность:

Для любого xD x-x=0 - рациональное число. Потому (x, x)R.

Симметричность:

Если (x, y)R, то x-y = . Тогда y-x=-(x-y)=- - рациональное число. Поэтому (y, x)R.

Транзитивность:

Если (x, y)R, (y, z)R, то x-y = и y-z =. Складывая эти два уравнения, получаем, что x-z = + - рациональное число. Поэтому (x, z)R.

Следовательно, R - это эквивалентность.

4. Разбиение плоскости D2 состоит из блоков, изображённых на рисунке а). Выписать отношение эквивалентности R, соответствующее этому разбиению, и классы эквивалентности.

Аналогичная задача для b) и c).

а) две точки эквивалентны, если лежат на прямой вида y=2x+b, где b - любое действительное число.

b) две точки (x1,y1) и (x2,y2) эквивалентны, если (целая часть x1 равна целой части x2) и (целая часть y1 равна целой части y2).

с) решить самостоятельно.

Задачи для самостоятельного решения

1. Доказать, что если f есть функция из A в B и g есть функция из B в C, то fg есть функция из A в C.
2. Пусть A и B - конечные множества, состоящие из m и n элементов соответственно.

Сколько существует бинарных отношений между элементами множеств A и B?

Сколько имеется функций из A в B?

Сколько имеется 1-1 функций из A в B?

При каких m и n существует взаимно-однозначное соответствие между A и B?

3. Доказать, что f удовлетворяет условию f(AB)=f(A)f(B) для любых A и B тогда и только тогда, когда f есть 1-1 функция.

Бинарные отношения.

Пусть A и B – произвольные множества. Возьмем по одному элементу из каждого множества, a из A, b из B и запишем их так: (сначала элемент первого множества, затем элемент второго множества – т.е. нам важен порядок, в котором берутся элементы). Такой объект будем называть упорядоченной парой . Равными будем считать только те пары, у которых элементы с одинаковыми номерами равны. = , если a = c и b = d. Очевидно, что если a ≠ b, то ≠ .

Декартовым произведением произвольных множеств A и B (обозначается: AB) называется множество, состоящее из всех возможных упорядоченных пар, первый элемент которых принадлежит A, а второй принадлежит B. По определению: AB = { | aA и bB}. Очевидно, что если A≠B, то AB ≠ BA. Декартово произведение множества A само на себя n раз называется декартовой степенью A (обозначается: A n).

Пример 5. Пусть A = {x, y} и B = {1, 2, 3}.

AB = {, , , , , }.

BA = {<1, x>, <2, x>, <3, x>, <1, y>, <2, y>, <3, y>}.

AA = A 2 = {, , , }.

BB = B 2 = {<1, 1>, <1, 2>, <1, 3>, <2, 1>, <2, 2>, <2, 3>, <3, 1>, <3, 2>, <3, 3>}.

Бинарным отношением на множестве M называется множество некоторых упорядоченных пар элементов множества M. Если r – бинарное отношение и пара принадлежит этому отношению, то пишут: r или x r y. Очевидно, r Í M 2 .

Пример 6. Множество {<1, 2>, <2, 2>, <3, 4>, <5, 2>, <2, 4>} является бинарным отношением на множестве {1, 2, 3, 4, 5}.

Пример 7. Отношение ³ на множестве целых чисел является бинарным отношением. Это бесконечное множество упорядоченных пар вида , где x ³ y, x и y – целые числа. Этому отношению принадлежат, например, пары <5, 3>, <2, 2>, <324, -23> и не принадлежат пары <5, 7>, <-3, 2>.

Пример 8. Отношение равенства на множестве A является бинарным отношением: I A = { | x Î A}. I A называется диагональю множества A.

Поскольку бинарные отношения являются множествами, то к ним применимы операции объединения, пересечения, дополнения и разности.

Областью определения бинарного отношения r называется множество D(r) = { x | существует такое y, что xry }. Областью значений бинарного отношения r называется множество R(r) = { y | существует такое x, что xry }.

Отношением, обратным к бинарному отношению r Í M 2 , называется бинарное отношение r -1 = { | Î r}. Очевидно, что D(r ‑1) = R(r), R(r ‑1) = D(r), r ‑ 1 Í M 2 .

Композицией бинарных отношений r 1 и r 2 , заданных на множестве M, называется бинарное отношение r 2 o r 1 = { | существует y такое, что Î r 1 и Í r 2 }. Очевидно, что r 2 o r 1 Í M 2 .

Пример 9. Пусть бинарное отношение r задано на множестве M = {a, b, c, d}, r = {, , , }. Тогда D(r) = {a, c}, R(r) = {b, c, d}, r ‑1 = {, , , }, r o r = {, , , }, r ‑1 o r = {, , , }, r o r ‑1 = {, , , , , , }.

Пусть r – бинарное отношение на множестве M. Отношение r называется рефлексивным , если x r x для любого x Î M. Отношение r называется симметричным , если вместе с каждой парой оно содержит и пару . Отношение r называется транзитивным , если из того, что x r y и y r z следует, что x r z. Отношение r называется антисимметричным , если оно не содержит одновременно пары и различных элементов x ¹ y множества M.

Укажем критерии выполнения этих свойств.

Бинарное отношение r на множестве M рефлексивно тогда и только тогда, когда I M Í r.

Бинарное отношение r симметрично тогда и только тогда, когда r = r ‑1 .

Бинарное отношение r на множестве M антисимметрично тогда и только тогда, когда r Ç r ‑1 = I M .

Бинарное отношение r транзитивно тогда и только тогда, когда r o r Í r.

Пример 10. Отношение из примера 6 является антисимметричным, но не является симметричным, рефлексивным и транзитивным. Отношение из примера 7 является рефлексивным, антисимметричным и транзитивным, но не является симметричным. Отношение I A обладает всеми четырьмя рассматриваемыми свойствами. Отношения r ‑1 o r и r o r ‑1 являются симметричными, транзитивными, но не являются антисимметричными и рефлексивными.

Отношением эквивалентности на множестве M называется транзитивное, симметричное и рефлексивное на М бинарное отношение.

Отношением частичного порядка на множестве М называется транзитивное, антисимметричное и рефлексивное на М бинарное отношение r.

Пример 11. Отношение из примера 7 является отношением частичного порядка. Отношение I A является отношением эквивалентности и частичного порядка. Отношение параллельности на множестве прямых является отношением эквивалентности.

Систематизация свойств.

Каждое бинарное (двухместное) отношение характеризуется свойствами рефлексивности, симметричности и транзитивности. Полное или частичное отсутствие этих свойств в отношении отражается в их наименовании приставками соответственно "анти " и "не ". Определённым сочетаниям этих базовых свойств даны свои специальные наименования; например, антисимметричное и антирефлексивное отношение называется асимметричным.

Свойство рефлексивности рассматривается для одного элемента множества.

Отношение называется рефлексивным , если для любого предмета из области его определения имеет место это отношение предмета к самому себе. Отношение ровесник, определенное на области пар людей, рефлексивно, потому что любой человек ровесник самого себя.

Если отношение имеет место не для любой такой пары, то оно называется не рефлексивным . Нерефлексивно отношение любит , определенное на области пар людей, так как не все люди любят себя.

Если отношение не имеет места ни для одной такой пары, то отношение называется анти рефлексивным . Отношение больше, определённое на области пар материальных предметов, антирефлексивно, поскольку ни один предмет не больше самого себя.

Свойство симметричности рассматривается для двух разных элементов множества.

Отношение называется симметричным , когда для любых пар предметов из области его определения верно, что, когда это отношение x и y , то оно имеет место и в паре (y,x) . Отношение ровесник симметрично, так как для любых двух людей верно, что, если первый ровесник второго, то и второй ровесник первого.

Отношение называется не симметричным , если оно верно не для любых двух предметов из области определения. Несимметрично отношение любит , поскольку не для любых двух людей верно, что если первый любит второго, то второй любит первого.

Отношение называется анти симметричным , если в области определения отношения не существует пар указанного вида, для которых это верно. Отношение больше антисимметрично, потому что ни для каких предметов не может быть так, что первый предмет больше второго, а второй больше первого.

Свойство транзитивности рассматривается для трёх разных элементов множества.

Отношение называется транзитивным , если оно обязательно имеет место для пары  (x,z) при условии его наличия в парах (x,y) и (y,z) . Отношение ровесник транзитивно, так как для любых трёх людей, если один человек ровесник другого, а тот ровесник третьего, первый непременно является ровесником третьего.

Отношение называется не транзитивным , если это верно не для любыхпредметов из области определения отношения. Нетранзитивно отношение любит , потому что неверно, что оно имеет место в паре (x,z) всегда, когда оно наличествует в парах (x,y) и (y,z), т. е. не обязательно, чтобы первый человек любил третьего, когда первый любит второго, а второй любит третьего.

Отношение называется ан титранзитивным , если в области определения отношения не существует таких предметов, для которых это было бы верно. Антитранзитивно отношение отец , потому что не найдется таких трёх пар указанного вида, чтобы это отношение имело место во всех трёх. Никогда не может быть так, что первый человек - отец второго, второй - отец третьего, и при этом первый - отец третьего.

Определения.

Определение . Отношение ρ называется рефлексивным , если каждый элемент x∈A находится в этом отношении сам с собой: xρx для всех x∈A . На языке кванторов: ∀ x∈A: xρx
Определение. Отношение ρ называется симметричным , если из того, что xρy следует, что yρx: ∀x,y∈A: xρy⟹ yρx
Определение. Отношение ρ называется транзитивным , если из того, что xρy и yρz , следует, что xρz : ∀x,y,z∈A: (xρy ∧ yρz) ⟹ xρz
- не рефлексивным , если: ¬∀ x∈A: xρx
- не симметричным , если: ¬∀x,y∈A: xρy⟹ yρx
- не транзитивным , если: ¬∀x,y∈A: (xρy∧ yρz)⟹ xρz
  - анти рефлексивным (иррефлексивным), если: ∀x∈A: ¬(xρx)
  - анти симметричным , если: ∀x,y∈A : (xρy⟹ yρx) ⟹ x=y
  - анти транзитивным , если: ∀x,y,z∈A: (xρy∧ yρz) ⟹ ¬(xρz)
Определение. Бинарное отношение на некотором множестве называют эквивалентностью (отношением эквивалентности), если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно.